[論文レビュー] Implicit higher derivatives, and a formula of Comtet and Fiolet

Tom Wilde|ArXiv.org|May 17, 2008

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、1974年にComtetとFioletが提示した、$ y = f(x) $ が $ F(x,y) = 0 $ で陰的に定義される場合の高階微分 $ d^n y / dx^n $ を計算するための誤りのある組合せ的公式を是正する。ラグランジュ逆挙法と帰納法を用いて、$ (0,1) \notin p $ を満たす2次元分割 $ p \vdash (n, |p|-1) $ に関する和として表される是正された公式を導出する。この公式には係数 $ \alpha_p $ と $ F $ の偏導関数が含まれ、分母は $ F_y^{|p|} $ である。主な貢献は、陰関数の高階微分に対する正確な誤り是正式と、公式における項の数の是正された数え上げである。

ABSTRACT

Let F(x,y) be a function of two variables, and suppose y = f(x) satisfies F(x,y)=0 in some range. Then dy/dx = -Fx/Fy, where Fx and Fy denote the partial derivatives of F with respect to x and y. It is natural to seek a general expression for the higher derivatives d^ny/dx^n, in terms of partial derivatives of F, and such an expression was given in 1974 by L. Comtet and M. Fiolet. Their formula, however, contains some errors. In this note, we give a corrected expression. We give a derivation using Lagrange inversion and also an elementary proof by induction. We further correct a minor error in Comtet and Fiolet's expression for the number of terms in their formula.

研究の動機と目的

• 1974年にComtetとFioletが発表した、$ F(x,y) = 0 $ を満たす陰関数 $ y = f(x) $ に対する $ d^n y / dx^n $ の誤った組合せ的公式を是正すること。
• 2通りの異なる手法、すなわちラグランジュ逆挙法と数学的帰納法を用いて、是正された公式の厳密な導出を提供すること。
• ComtetとFioletの公式における項数の誤った表現を是正すること。具体的には、$ (0,1) $ を除く $ p \vdash (n, |p|-1) $ の分割を数えること。
• 是正された項数 $ a(n) $、すなわちこのような分割の数を表す生成関数を確立し、$ n = 24 $ までその値を計算すること。

提案手法

• ラグランジュ逆挙法の一種を用いて、$ d^n y / dx^n $ を $ (0,1) \notin p $ を満たす2次元分割 $ p \vdash (n, |p|-1) $ に関する和として是正された公式を導出する。
• 数学的帰納法を適用して、$ d^n y / dx^n $ の是正された公式が次数にわたり一貫していることを確認する。
• 2次元分割 $ p \vdash (m,n) $ の表記を導入し、辞書式順序と重複度 $ e_{p,k,l} $ を定義する。
• ファウ・ディ・ブルーノの公式に類似した係数 $ \alpha_p = \frac{n! m!}{\prod_i p_{i1}! p_{i2}! \prod_{k,l} e_{p,k,l}!} $ を定義し、各分割項に重みを付ける。
• 生成関数 $ \prod_{(i,j) \in E} \frac{1}{1 - t^i u^{i+j-1}} $ を用いて、項数 $ a(n) $ を計算する。ここで $ E = \mathbb{N} \times \mathbb{N} \setminus \{(0,0),(0,1)\} $ である。
• 対数生成関数から得られる $ q_m(t) $ を用いて、$ p_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{s=1}^n s q_s(t) p_{n-s}(t) $ の再帰的計算を用いて、$ a(n) $ を効率的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 陰関数 $ F(x,y) = 0 $ で定義される $ y = f(x) $ に対する $ n $ 階微分 $ d^n y / dx^n $ の正しい組合せ的公式は何か？
• RQ2 ComtetとFioletの元の $ d^n y / dx^n $ の公式に誤りが含まれる理由は何か？ その導出における誤りの原因は何か？
• RQ3 公式における異なる項の数 $ a(n) $ の正しい表現は何か？ そして、その数え上げはどのように行えるか？
• RQ4 是正された公式は、ラグランジュ逆挙法と帰納法の両方でどのように導出できるか？ また、2次元分割はこの導出において果たす役割は何か？

主な発見

• 是正された公式は、$ \sum_{p: p \vdash (n, |p|-1), (0,1) \notin p} (-1)^{|p|} \alpha_p \frac{F_{x,y,p}}{F_y^{|p|}} $ である。ここで $ \alpha_p $ は2次元分割に関する多項係数で定義される。
• $ n = 2 $ の場合、公式は $ \frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{F_{xx}}{F_y} + 2\frac{F_x F_{xy}}{F_y^2} - \frac{F_x^2 F_{yy}}{F_y^3} $ を得る。これは1階微分から直接微分した結果と一致する。
• ComtetとFioletが提示した項数 $ a(n) $ の式は誤りである。正しい数え上げは、$ \prod_{(i,j) \in E} \frac{1}{1 - t^i u^{i+j-1}} $ の $ t^n u^{n-1} $ の係数であり、$ \prod_{(i,j) \in E} (1 - t^i u^j)^{-1} $ の係数ではない。
• $ n = 1 $ から $ 24 $ までの $ a(n) $ の値は $ 1, 3, 9, 24, 61, 145, 333, 732, 1565, 3247, 6583, 13047, 25379, 48477, 91159, 168883, 308736, 557335, 994638, 1755909, 3068960, 5313318, 9118049, 15516710 $ である。これは $ n = 23 $ まで ComtetとFioletの値と一致するが、$ n = 24 $ で異なる。
• 再帰的スキーム $ p_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{s=1}^n s q_s(t) p_{n-s}(t) $ を用い、$ q_m(t) $ を $ \log F(u,t) $ から得ることで、$ a(n) $ を $ n = 50 $ まで効率的に計算できる。