[論文レビュー] Implicit Higher-Order Moment Matching Technique for Model Reduction of Quadratic-bilinear Systems

Mian Mohammad Arsalan Asif, Mian Ilyas Ahmad+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、多変数伝達関数の簡略化された正規形式を用いて、3次までの伝達関数にまで拡張された多次元モーメントマッチングを、2次・線形系のモデル低次元化に適用する暗黙的高次モーメントマッチング手法を提案する。本手法は、射影行列の構築に非線形系行列（N および H）を組み込むことで、既存手法と比較して計算コストを低減しつつ、より高い精度の低次元モデルを達成する。

ABSTRACT

We propose a projection based multi-moment matching method for model order reduction of quadratic-bilinear systems. The goal is to construct a reduced system that ensures higher-order moment matching for the multivariate transfer functions appearing in the input-output representation of the nonlinear system. An existing technique achieves this for the first two multivariate transfer functions, in what is called the symmetric form of the multivariate transfer functions. We extend this framework to an equivalent and simplified form, the regular form, which allows us to show moment matching for the first three multivariate transfer functions. Numerical results for three benchmark examples of quadratic-bilinear systems show that the proposed framework exhibits better performance with reduced computational cost in comparison to existing techniques.

研究の動機と目的

• 流体動力学、VLSI回路、生物学的プロセスなど、多くの応用分野に現れる大規模2次・線形系における、高精度かつ低コストのモデル低次元化のニーズに対応する。
• 従来のモーメントマッチング手法が対称形式で最初の2つの多変数伝達関数しかマッチングできないという制限を克服する。
• 伝達関数の簡略化された正規形式を導入することで、最初の3つの多変数伝達関数へのモーメントマッチングを拡張する。
• 射影行列 V および W の構築に、2次（H）および線形（N）系行列を組み込むことで、近似精度を向上させる。
• IMM、IGMM-s、IGMM-r2 などの既存手法と比較して、優れた性能と低コストを示すことを実証する。

提案手法

• 先行研究で用いられた対称形式の代替として、数学的構造が簡略化された多変数伝達関数の正規形式を用いる。
• 正規形式における最初の3つの多変数伝達関数に一般化されたマルチモーメントマッチングを適用し、高次モーメントマッチングを実現する。
• 系行列 A、N、H、B、C および伝達関数から導出された補間点を用いて、射影行列 V および W を構築する。
• W が張るテスト部分空間に対して残差を直交化することで、Petrov-Galerkin 条件を満たす。
• 射影により低次元系を定式化する：Ê = Wᵀ E V、Â = Wᵀ A V、N̂ = Wᵀ N V、Ĥ = Wᵀ H (V⊗V)、B̂ = Wᵀ B、Ĉ = C V。
• 正規形式の構造を活用してモーメントマッチングの計算を簡略化し、数値的効率を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数伝達関数の表現を簡略化することで、最初の2つを超える高次モーメントマッチングが可能になるか？
• RQ2 射影行列の構築に線形（N）および2次（H）行列を組み込むことで、低次元モデルの精度が向上するか？
• RQ3 最初の3つの多変数伝達関数をマッチングするのと最初の2つだけをマッチングするのとでは、近似誤差と計算コストの点でどのように異なるか？
• RQ4 提案手法は、IMM、IGMM-s、IGMM-r2 などの既存手法と比較して、ベンチマーク用2次・線形系においてより優れた低次元モデルを達成できるか？
• RQ5 高次モーメントのマッチングが、さまざまな入力信号と系タイプにおいて、低次元モデルの安定性と精度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案手法（IGMM-r3）は、対称形式よりも数学的構造が簡略化された正規形式を用いることで、最初の3つの多変数伝達関数に対する高次モーメントマッチングを達成する。
• IGMM-r3 は、既存手法と比較して顕著に低い近似誤差を示す。RC回路例では最大相対誤差 0.0007（IMM-s2 は 0.0083）、Burgers方程式では 0.0063（IMM-s2 は 0.0377）を達成した。
• 高次導関数の使用を回避し、正規形式に基づくより効率的な行列構築プロセスを活用することで、計算コストを低減する。
• FitzHugh-Nagumo系では、IGMM-r3 は24次元の低次元モデルを生成し、最大絶対誤差が IMM-s2 より1桁小さい。IMM-s2 は16次元を超えると不安定となった。
• 射影行列の構築に N および H 行列を組み込むことで、出力応答および3次元プロットにおけるリミットサイクル挙動の一致が向上し、より高精度な低次元モデルが得られることを裏付けた。
• 第3の伝達関数をマッチングすることで、RC回路、Burgers方程式、FitzHugh-Nagumo系の3つのベンチマーク例すべてで最大誤差が一貫して低減され、精度が著しく向上した。