[論文レビュー] Implicit Linear Algebra and its Applications

Hariharan Narayanan|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Matrix Theory and Algorithms被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、行列や状態方程式に依存せず、解空間と線形関係を用いて動的システム、特に電気回路をモデル化する枠組みとして、暗黙的線形代数を導入する。暗黙的逆数定理と暗黙的双対性定理を確立し、従来の状態空間表現に依存しない、計算的に効率的でトポロジカルに情報を持つ制御理論を可能にする。

ABSTRACT

Linear systems often involve, as a basic building block, solutions of equations of the form \begin{align*} A_Sx_S&+A_Px_P =0\\ A'_Sx_S & =0, \end{align*} where our primary interest might be in the vector variable $x_P.$ Usually, neither $x_S$ nor $x_P$ can be written as a function of the other but they are linked through the linear relationship, that of $(x_S,x_P) $ belonging to $\mathcal{V}_{SP},$ the solution space of the first of the two equations. If $\mathcal{V}_{S}$ is the solution space of the second equation, we may regard the final space of solutions $\mathcal{V}_{P}$ as derived from the other two spaces by an operation, say, `$\mathcal{V}_{P}=\mathcal{V}_{SP}\leftrightarrow \mathcal{V}_{S}.$' This operation, together with linear relationships, can be used to build a version of linear algebra which we call `implicit linear algebra'. There are two basic results - an `implicit inversion theorem' which describes when $\mathcal{V}_{S}$ can be obtained from $\mathcal{V}_{P}$ and $\mathcal{V}_{SP},$ and an `implicit duality theorem' which says $\mathcal{V}_{P}^{\bot}=\mathcal{V}_{SP}^{\bot}\leftrightarrow \mathcal{V}_{S}^{\bot}.$ These notions originally arose in the building of circuit simulators. They have been reinterpreted for the present purpose. Using them, we develop an algorithmic version of linear multivariable control theory, avoiding the computationally expensive idea of state equations. We replace them by `emulators', which are easy to build, but can achieve most of whatever can be done with state equations. We define the notions of generalized autonomous systems and generalized operators, and develop a primitive spectral theory for the latter. Using these ideas, we develop the usual controllability - observability duality, state and output feedback, pole placement etc.

研究の動機と目的

• 複雑な動的システムをモデル化するため、行列や変換ではなく解空間と線形関係に基づく線形代数のバージョンを開発すること。
• 多変数制御における従来の状態空間法の計算非効率性を解消するため、状態方程式の代わりに「エミュレータ」——システム関係の暗黙的表現——を導入すること。
• 双対性と可制御性解析を、明示的な状態変数を用いずに、暗黙的逆数定理と暗黙的双対性定理という基礎的定理によって可能にする。
• トポロジカル制約（キルヒホッフの法則）が自然に解空間を生じる電気回路において、この枠組みの有効性を示すこと。
• 一般化された作用素の原始的スペクトル理論を構築し、一般化された自己同士システムを定義することで、暗黙的設定における制御理論的概念を統一すること。

提案手法

• システムの挙動を、$x_P$ を注目変数とする線形制約で結ぶ解空間 $\mathcal{V}_{SP}$, $\mathcal{V}_S$, $\mathcal{V}_P$ として表現する。
• 行列の逆行列に代わる、$\mathcal{V}_P = \mathcal{V}_{SP} \leftrightarrow \mathcal{V}_S$ という新しい演算を導入し、$\mathcal{V}_P$ を $\mathcal{V}_{SP}$ と $\mathcal{V}_S$ から導出する。
• 「エミュレータ」を、状態方程式を一般化したシステム関係の暗黙的表現として定義し、異なる変数数を持つシステムの結合を可能にする。
• 暗黙的双対性定理 $\mathcal{V}_P^\perp = \mathcal{V}_{SP}^\perp \leftrightarrow \mathcal{V}_S^\perp$ を適用し、元のシステムと随伴システムの間の双対性を解空間レベルで確立する。
• ネットワークのトポロジカル分解（例：マルチポート）を用いて連結空間を定義し、電圧、電流、磁束・電荷変数間の関係を導出する。
• 暗黙的逆数定理を適用し、$\mathcal{V}_S$ を $\mathcal{V}_P$ と $\mathcal{V}_{SP}$ から回復することで、システム解析における後向き推論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列ではなく解空間と線形関係に基づく線形代数の再構築は、相互接続されたシステムをよりよくモデル化するために可能か？
• RQ2 明示的な状態方程式を用いずに、解空間の関係性のみを用いて、可制御性と可観測性をどのように分析できるか？
• RQ3 トポロジカル構造（例：キルヒホッフの法則）は、システム挙動の暗黙的表現を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 アドジョイント行列に依存せずに、解空間の双対性から制御システムの双対性を純粋に導出できるか？
• RQ5 エミュレータは、従来の状態空間モデルと比較して、システムのダイナミクスの捉え方とフィードバック設計の実現性において、どのように異なるか？

主な発見

• 暗黙的逆数定理により、$\mathcal{V}_S$ が $\mathcal{V}_P$ と $\mathcal{V}_{SP}$ から再構成可能である条件が得られ、システム制約の後向き解析が可能になる。
• 暗黙的双対性定理 $\mathcal{V}_P^\perp = \mathcal{V}_{SP}^\perp \leftrightarrow \mathcal{V}_S^\perp$ により、元のシステムと随伴システムの間で、解空間レベルでの直接的な双対性が確立される。
• 対称的正定値素子（例：コンデンサ、インダクタ）に対しては、随伴システムが $q_{P_C} = K_C^T q_C$ および $\psi_{P_L} = K_L^T \psi_L$ を与え、電荷および磁束変数における明確な双対性を示す。
• 随伴システムのエミュレータは、元のシステムのエミュレータの随伴に一致し、表現間の双対性の一貫性が確認される。
• 随伴システムの解空間 $\mathcal{V}^{astat}$ は、$\mathcal{V}^{astat} = (\mathcal{V}^i(\mathcal{G}^{\prime}{}^{\text{stat}})) \leftrightarrow (\mathcal{V}^v(\mathcal{G}^{\prime}{}^{\text{stat}})) \leftrightarrow \{-Ri'_R = v'_R\}$ として明示的に構成され、マルチポートデータから導出可能である。
• 連結空間 $\mathcal{V}^1_{W'P'}$ は、元のシステムの連結空間の直交補空間として得られ、双対性のプリマルと随伴表現の間の一貫性が裏付けられる。