[論文レビュー] Implicit representations via the polynomial method

Jean Cardinal, Micha Sharir|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 0

ひとこと要約

本論文は多項式分割を用いた半代数グラフのサブ線形隣接ラベリングスキームを示し、O(n^{1-2/(d+1)+ε})ビットのラベルと効率的なクエリを提供する。単位円盤、線分交差、半線形、ポリゴン可視性グラフに対する特化結果を含む。

ABSTRACT

Semialgebraic graphs are graphs whose vertices are points in $\mathbb{R}^d$, and adjacency between two vertices is determined by the truth value of a semialgebraic predicate of constant complexity. We show how to harness polynomial partitioning methods to construct compact adjacency labeling schemes for families of semialgebraic graphs. That is, we show that for any family of semialgebraic graphs, given a graph on $n$ vertices in this family, we can assign a label consisting of $O(n^{1-2/(d+1) + \varepsilon})$ bits to each vertex (where $\varepsilon > 0$ can be made arbitrarily small and the constant of proportionality depends on $\varepsilon$ and on the complexity of the adjacency-defining predicate), such that adjacency between two vertices can be determined solely from their two labels, without any additional information. We obtain for instance that unit disk graphs and segment intersection graphs have such labelings with labels of $O(n^{1/3 + \varepsilon})$ bits. This is in contrast to their natural implicit representation consisting of the coordinates of the disk centers or segment endpoints, which sometimes require exponentially many bits. It also improves on the best known bound of $O(n^{1-1/d}\log n)$ for $d$-dimensional semialgebraic families due to Alon (Discrete Comput. Geom., 2024), a bound that holds more generally for graphs with shattering functions bounded by a degree-$d$ polynomial. We also give new bounds on the size of adjacency labels for other families of graphs. In particular, we consider semilinear graphs, which are semialgebraic graphs in which the predicate only involves linear polynomials. We show that semilinear graphs have adjacency labels of size $O(\log n)$. We also prove that polygon visibility graphs, which are not semialgebraic in the above sense, have adjacency labels of size $O(\log^3 n)$.

研究の動機と目的

• 半代数述語で定義されるグラフのコンパクトで分散配置可能なエンコーディングを動機づける。
• d次元半代数グラフファミリに対してサブ線形ラベルサイズを持つ隣接ラベリングスキームを開発する。
• パーティション分割を適用して各頂点の二部完全グラフ参加 ν(n) を境界づけ、ラベルサイズを導く。
• 半線形および可視性グラフファミリに対して簡潔な暗黙表現を導出する。
• 具体的なグラフクラス（単位円 disk、線分、ボール、ポリゴン可視性）への系度結果を提供する。

提案手法

• 一定の複雑さをもつ固定の半代数述語を用いて隣接をモデル化する。
• パーティション分割を介して二部完全分解を構築し、頂点の参加 ν(n) を境界づける。
• 一次元/二次元の原問題設定で分割木を適用し、暴露を均衡化してラベリング長を制御する。
• Milnor–Thom型の界を用いてセル数と交差を境界づけ、サブ線形のエンコードを実現する。
• 平衡な二部完全分解から明示的なラベルサイズ定理（定理1および系）を導出する。
• 半線形およびポリゴン可視性グラフの特別ケースを、適切な分解と既知の幾何学的結果で扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半代数グラフファミリは、nに対して線形未満のサブ線形隣接ラベリングスキームを可 - 能か。
• RQ2 パーティション分割を用いた場合、d次元半代数グラフで達成可能な最小ラベルサイズはどれか。
• RQ3 単位円盤、任意半径をもつ円盤、単位ボール、ボール、線分交差グラフなどの具体的グラフファミリには結果がどう適用されるか。
• RQ4 半線形グラフは一般の半代数グラフと比較して、非常に小さな（対数的な）隣接ラベルを持つか。
• RQ5 ポリゴン可視性グラフおよび関連する地形に対してどのようなラベリング境界が得られるか。

主な発見

• d次元の半代数ファミリは O(n^{1-2/(d+1)+ε})-ビットの隣接ラベリングスキームを持つ（ε>0 は任意に小さい）。
• 単位円盤グラフは O(n^{1/3+ε})-ビットのラベルを持つ。任意半径の円盤グラフは O(n^{1/2+ε})-ビット。
• R^d における単位ボールグラフは O(n^{1-2/(d+1)+ε})-ビット、ボールグラフは O(n^{1-2/(d+2)+ε})-ビット。
• 線分交差グラフは O(n^{1/3+ε})-ビットのラベルを持つ（実務的にはパラメトリック次元を2に縮小）。
• 半線形グラフは O(log n)-ビットの隣接ラベルスキームを持つ。
• ポリゴン可視性グラフは O(log^3 n)-ビットの隣接ラベルスキームを持つ（キャップされたグラフでは O(log^2 n)）。