[論文レビュー] Implicit Simulation Methods for Stochastic Chemical Kinetics

Tae-Hyuk Ahn, Adrian Sandu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、反応イベントのポアソン分布における平均と分散の両方を暗黙的に扱う完全暗黙型tau-leaping法を、 stiff な系において数値安定性を向上させるために提案する。新しい手法（BE–BE、BE–TR、TR–TR、および完全2次弱テイラー法）は、無条件安定性と高い精度を達成しており、特にTR–TRおよびα=0.5の弱テイラー法は、大きな時間刻みでも最小の減衰を示し、優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

In biochemical systems some of the chemical species are present with only small numbers of molecules. In this situation discrete and stochastic simulation approaches are more relevant than continuous and deterministic ones. The fundamental Gillespie's stochastic simulation algorithm (SSA) accounts for every reaction event, which occurs with a probability determined by the configuration of the system. This approach requires a considerable computational effort for models with many reaction channels and chemical species. In order to improve efficiency, tau-leaping methods represent multiple firings of each reaction during a simulation step by Poisson random variables. For stiff systems the mean of this variable is treated implicitly in order to ensure numerical stability. This paper develops fully implicit tau-leaping-like algorithms that treat implicitly both the mean and the variance of the Poisson variables. The construction is based on adapting weakly convergent discretizations of stochastic differential equations to stochastic chemical kinetic systems. Theoretical analyses of accuracy and stability of the new methods are performed on a standard test problem. Numerical results demonstrate the performance of the proposed tau-leaping methods.

研究の動機と目的

• 広範な時間スケールを有する stiff な生化学的系において、明示的tau-leaping法の数値不安定性を解消すること。
• 既存の部分的暗黙型tau-leaping法が分散を低減し、確率分布を歪めることに起因する減衰効果を克服すること。
• ポアソン分布の反応イベントの平均と分散の両方を暗黙的に扱う完全暗黙型スキームを構築し、安定性と精度を向上させること。
• 理論的および数値的検証を通じて、stiff な系において無条件安定性および改善された収束特性を確認すること。
• 複数のベンチマーク系を用いて性能を評価し、正確な SSA および既存の暗黙型手法と比較して、効率性と精度を示すこと。

提案手法

• SDE（確率微分方程式）の弱収束離散化としてtau-leaping法を定式化し、高次手法の体系的導出を可能にする。
• BE–BE、BE–TR、TR–TR手法を提案し、ポアソン確率変数の平均および分散成分の両方に、暗黙スキーム（後退オイラー法または台形則）を適用する。
• パラメータαとβを用いて安定性と精度を制御する、暗黙の2次弱テイラーtau-leaping法を考案。
• SDE近似のドリフト項および拡散項を、確率的後退オイラー法および台形法により離散化し、stiff な系に対しても安定性を確保する。
• 弱収束理論を用いて、元の化学マスター方程式の統計的性質を保持する手法を導出する。
• ステップサイズ選択を、ループ条件に基づくが、分散の暗黙的取り扱いにより、安定な大きなステップサイズを許容するように拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tau-leaping法における平均と分散の両方を完全に暗黙的に扱うことで、stiff な確率的化学系における数値安定性が向上するか？
• RQ2 新しい手法の漸近的平均および分散は、正確な SSA および従来のtau-leaping法と比較してどのように異なるか？
• RQ3 どの手法が無条件安定性を達成するか？また、パrameter選択（例：α=0.5 対 α=1.0）が安定性および精度に与える影響は？
• RQ4 部分的暗黙型tau-leaping法で観察される減衰効果は、新しい手法によってどの程度軽減されるか？
• RQ5 多様な生化学的系、特にstiff およびバイステーブルネットワークにおいて、新しい手法の精度および計算効率はどの程度か？

主な発見

• TR–TRおよびα=0.5の弱テイラー法は、最大の精度を示し、大きな時間刻みでも正確な SSA 分布に非常に近い結果を得た。
• 提案された6つの手法のうち4つ（BE–BE、BE–TR、TR–TR、およびα=0.5の弱テイラー法）は無条件安定であるが、2つ（α=1.0の弱テイラー法）は条件付き安定である。
• ELF系において、α=1.0およびβ=1.0の暗黙の2次弱テイラー法は、τ=0.005でSSAからの距離が0.15に留まり、SSAのCPU時間のたった3.5%で処理を完了した。
• τ=0.04秒では、TR–TRおよびα=0.5の弱テイラー法が、SSAの計算コストのたった0.4%で高い精度を達成した。
• BE–BE、BE–TR、TR–TR手法は最小の減衰を示し、確率ヒストограмがSSAに非常に近いが、α=1.0の弱テイラー法は大きなステップサイズで分散的挙動を示した。
• 理論的解析により、すべての提案手法が正しい解析的平均に収束することが確認されたが、分散は異なる値に収束しており、これはtau-leaping法の既知の挙動と一致する。