[論文レビュー] Implicitization of rational maps

Nicolás Botbol|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Polynomial and algebraic computation参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本学位論文は、特異的コンパクト化上の近似複体を用いた、有理写像の暗黙的化のための新規手法を開発し、超曲面の暗黙的方程式の効率的計算を可能にする。基本イデアルの対称代数の解消と、次数付き環におけるカステルヌオヴォ＝ムーディー正則性を活用することで、暗黙的方程式を複体写像の行列式として計算する。明示的な次数の上限 $uf$ が、不要な因子の正しく正しい性質と幾何的解釈を保証する。

ABSTRACT

Motivated by the interest in computing explicit formulas for resultants and discriminants initiated by Bézout, Cayley and Sylvester in the eighteenth and nineteenth centuries, and emphasized in the latest years due to the increase of computing power, we focus on the implicitization of hypersurfaces in several contexts. Our approach is based on the use of linear syzygies by means of approximation complexes, following [Busé Jouanolou 03], where they develop the theory for a rational map $f:P^{n-1}\dashrightarrow P^n$. Approximation complexes were first introduced by Herzog, Simis and Vasconcelos in [Herzog Simis Vasconcelos 82] almost 30 years ago. The main obstruction for this approximation complex-based method comes from the bad behavior of the base locus of $f$. Thus, it is natural to try different compatifications of $A^{n-1}$, that are better suited to the map $f$, in order to avoid unwanted base points. With this purpose, in this thesis we study toric compactifications $T$ for $A^{n-1}$. We provide resolutions $Z.$ for $Sym_I(A)$, such that $\det((Z.)_ν)$ gives a multiple of the implicit equation, for a graded strand $ν\gg 0$. Precisely, we give specific bounds $ν$ on all these settings which depend on the regularity of $\SIA$. Starting from the homogeneous structure of the Cox ring of a toric variety, graded by the divisor class group of $T$, we give a general definition of Castelnuovo-Mumford regularity for a polynomial ring $R$ over a commutative ring $k$, graded by a finitely generated abelian group $G$, in terms of the support of some local cohomology modules. As in the standard case, for a $G$-graded $R$-module $M$ and an homogeneous ideal $B$ of $R$, we relate the support of $H_B^i(M)$ with the support of $Tor_j^R(M,k)$.

研究の動機と目的

• 古典的手法の限界を克服し、$f: \mathbb{A}^{n-1} \dashrightarrow \mathbb{A}^n$ のような有理写像の暗黙的化における計算の難しさに対処すること。
• 定義域の特異的コンパクト化を用いることで、悪い基本点の挙動に起因する近似複体手法の限界を克服すること。
• 暗黙的方程式の倍数を与えるように、$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ となる明示的な次数の上限 $\nu$ を提供すること。
• 有限生成アーベル群による次数付き多項式環へのカステルヌオヴォ＝ムーディー正則性の一般化を、局所コhomologyおよびTorモジュールを用いて行うこと。
• 行列式計算に現れる不要な因子の幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 基本点を吹き上げた後、基本イデアル $I$ のリース代数 $\mathrm{Rees}_A(I)$ を近似するため、対称代数 $\mathrm{Sym}_A(I)$ を用いた近似複体を利用する。
• 射影空間への埋め込みおよびコックス環を介して、$\mathbb{A}^{n-1}$ の特異的コンパクト化 $\mathscr{T}$ を用い、基本点をよりよく制御する。
• 分母が異なる有理写像を取り扱うために、余定義域を $(\mathbb{P}^1)^n$ にコンパクト化する。
• 対称代数 $\mathrm{Sym}_A(I)$ の解消 $\mathcal{Z}_\bullet$ を構成し、$\nu \gg 0$ に対して $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ を計算することで、暗黙的方程式の倍数を得る。
• カステルヌオヴォ＝ムーディー正則性に基づく $\nu$ の上限を確立し、行列式が正しい暗黙的方程式を捉えることを保証する。
• コックス環の次数構造および局所コホモロジー・モジュールを用いて、$G$-次数付き環に対する一般化された正則性理論を定義し、$H^i_B(M)$ と $\mathrm{Tor}^R_j(M,k)$ の台を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似複体手法は、基本点の挙動が悪い有理写像にどのように適応可能か？
• RQ2 $\mathbb{A}^{n-1}$ のどの特異的コンパクト化が、暗黙的化における基本点の制御を改善するか？
• RQ3 どの次数の上限 $\nu$ が、$\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ が暗黙的方程式の倍数となることを保証するか？
• RQ4 カステルヌオヴォ＝ムーディー正則性は、有限生成アーベル群による次数付き多項式環へどのように一般化可能か？
• RQ5 行列式 $\det((\mathcal{Z}_\bullet)_\nu)$ に現れる不要な因子の幾何的意味は何か？

主な発見

• 本手法は、$\mathrm{Sym}_A(I)$ の解消における右端の写像の行列式として暗黙的方程式を計算し、正しい性質を保証する明示的な次数上限 $\nu$ を提供する。
• 検討された例では、次数 $\nu = (5,2,3)$ における行列 $N$ の行列式が、暗黙的方程式の倍数を与えることが、代入による検証で確認された。
• 行列式に現れる不要な因子は幾何的に解釈可能であり、基本点と吹き上げの構造に起因する。
• 一般化された正則性理論は、局所コホモロジー・モジュール $H^i_B(M)$ と $\mathrm{Tor}$ モジュールの台を結びつけ、古典的結果を $G$-次数付き環へ拡張する。
• GCD計算の高コストを回避し、パラメトリック方程式の代入による検証を経て、単一の行列式から直接暗黙的方程式を抽出する。
• 余定義域を $(\mathbb{P}^1)^n$ にコンパクト化することで、分母が異なる有理写像に対しても本手法は有効である。