[論文レビュー] Implicitization of surfaces in P^3 in the presence of base points

Laurent Busé, David Cox+1 more|ArXiv.org|May 23, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ℙ³内の有理的表面を陰形式化するための移動二次曲面法を、基点を有する場合に一般化する。基点が局所的完全交差をなす場合、陰式はパrametrizing 理想の関係式の結果式として計算可能であることを示す。主な貢献は、基点が存在しない場合にのみ有効であった従来の方法を拡張し、結果式に基づく、行列式を用いない新たな方法を提示することにある。

ABSTRACT

We show that the method of moving quadrics for implicitizing surfaces in P^3 applies in certain cases where base points are present. However, if the ideal defined by the parametrization is saturated, then this method rarely applies. Instead, we show that when the base points are a local complete intersection, the implicit equation can be computed as the resultant of the first syzygies.

研究の動機と目的

• ℙ³内の有理的表面を陰形式化するための移動二次曲面法を、基点が存在する場合にまで拡張すること。
• 基点が存在する場合でも、この方法が有効であるための代数的条件を同定すること。
• 基点が存在する場合の移動二次曲面法の適用可能性について、[CGZ]で提起された未解決問題に答えること。
• 幾何モデリングにおけるグレブナー基底や摂動された結果式とは異なる代替手法を提供すること。
• パrametrizing 理想が正則的かつ次数 >3 である場合、移動二次曲面法が失敗することを示すこと。

提案手法

• 理想 I = ⟨x,y,z,w⟩ ⊂ ℂ[s,t,u] の関係式モジュールを、移動平面および二次曲面を構築する基盤として用いる。
• I および I² の関係式の係数を成分とする行列 𝕄 を構築し、適切な条件下でその行列式が陰式を与える。
• I が局所的完全交差である場合、I の最初の関係式の結果式を用いて陰式を計算する方法を適用する。
• 斉次理想の正則性を活用し、結果式の構成が正しく機能することを保証するコhomologyの消滅条件を確立する。
• 層コhomologyと完全系列 0 → 𝒪(−1) → 𝒪 → 𝒪ℙ¹ → 0 を用いて、𝒪ℙ²(−1) のコhomology を理想層のコhomology と関連付ける。
• I が m ≥ 2n−2 に対して m-正則であり、かつ dim(R/I)_m = deg(Z) であるならば、I は m-正則であることを証明し、関係式に基づく陰形式化が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 移動二次曲面法は、ℙ³内の基点を有する有理的表面に対しても拡張可能か？
• RQ2 パrametrizing 理想 I にどのような代数的条件が課されると、基点が存在する場合でも陰式が移動二次曲面法で計算可能になるか？
• RQ3 パrametrizing 理想 I が正則的かつ次数が 3 より大きい場合、移動二次曲面法はどのように変化するか？
• RQ4 基点が局所的完全交差をなす場合、陰式は関係式の結果式として回復可能か？
• RQ5 基点の数は、移動二次曲面行列のサイズと構造にどのように影響するか？

主な発見

• 基点が局所的完全交差をなし、かつ理想 I が m ≥ 2n−2 に対して m-正則である限り、移動二次曲面法はℙ³内の表面に適用可能である。
• 基点の数がパラメータ化の次数 n 以上である場合、元の [CGZ] 法よりも小さい行列の行列式として陰式が計算可能である。
• パrametrizing 理想 I が正則的かつ次数 >3 である場合、命題 4.1 で示されるように、移動二次曲面法は失敗する。
• I が正則的かつ局所的完全交差である場合、陰式は関係式モジュールの基底の結果式を次数 n 乗したものと等しい。
• 局所的完全交差の場合、関係式の結果式は陰式を回復することができ、これは曲線に対する μ-基底概念の一般化である。
• m ≥ 2n−2 に対して dim(R/I)_m = deg(Z) であることは、I が m-正則であるための必要十分条件であり、結果式の構成の有効性を保証する。