[論文レビュー] Implied vol for any local-stochastic vol model

Matthew Lorig, Stefano Pagliarani+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2013

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般のローカル・ストキャスティック・ボラティリティモデルにおけるインプライド・ボラティリティの明示的漸近展開を構築し、特殊関数や数値積分を用いずに高速で解析的な計算を可能にする。この手法は、ヘストン、SABR、CEVを含む多様なモデルにおいて高い精度を達成し、オプションプライシングおよびボラティリティ・サーフェスモデリングのための包括的で効率的な代替手法を提供する。

ABSTRACT

We consider an asset whose risk-neutral dynamics are described by a general class of local-stochastic volatility models and derive a family of asymptotic expansions for European-style option prices and implied volatilities. Our implied volatility expansions are explicit; they do not require any special functions nor do they require numerical integration. To illustrate the accuracy and versatility of our method, we implement it under five different model dynamics: CEV local volatility, quadratic local volatility, Heston stochastic volatility, $3/2$ stochastic volatility, and SABR local-stochastic volatility.

研究の動機と目的

• 一般のローカル・ストキャスティック・ボラティリティモデルにおけるヨーロピアン・オプション価格およびインプライド・ボラティリティの明示的漸近展開を導出すること。
• インプライド・ボラティリティの計算において、数値積分や特殊関数の使用を排除すること。
• 広範な確率的およびローカル・ボラティリティ・ダイナミクスに適用可能な統一的で解析的に取り扱えるフレームワークを提供すること。
• CEV、2次式ローカル・ボラティリティ、ヘストン、3/2、SABRを含む多様なモデル仕様下で、手法の精度と頑健性を検証すること。

提案手法

• 著者らは、一般のローカル・ストキャスティック・ボラティリティ・ダイナミクス下でのオプション価格およびインプライド・ボラティリティの漸近展開の族を導出する。
• 展開式は明示的かつ閉形式であり、数値積分を一切用いず、標準的な数学的関数のみに依存する。
• この手法は、遷移密度のFokker-Planck方程式またはKolmogorov後向き方程式に摂動技法を適用することで実現される。
• 基礎資産のダイナミクスにおけるローカル・ボラティリティおよびストキャスティック・ボラティリティの両成分を体系的に扱う。
• CEV、2次式ローカル・ボラティリティ、ヘストン、3/2、SABRの5つの異なるモデルクラスに対して、この手法をキャリブレーションおよびテストする。
• 得られたインプライド・ボラティリティの式は直接計算可能であり、反復的または数値的ソルバーに依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のローカル・ストキャスティック・ボラティリティモデルにおいて、数値積分や特殊関数を用いずに、インプライド・ボラティリティの明示的・解析的展開を導出可能か？
• RQ2 ヘストンやSABRを含む多様な確率的およびローカル・ボラティリティ・ダイナミクスにおいて、これらの展開の精度はどの程度か？
• RQ3 多様なマーケット状況およびモデルパラメータ下でも、計算効率を維持しながら高い精度を達成できるか？
• RQ4 漸近的フレームワークは、インプライド・ボラティリティ・サーフェス全体を捉える範囲としてどの程度の適用範囲を有するか？
• RQ5 既存の数値的または準解析的手法と比較して、これらの展開は性能でどのように差をつけるか？

主な発見

• 提案されたインプライド・ボラティリティの漸近展開は明示的であり、数値積分や特殊関数を必要とせず、高速な計算が可能である。
• ヘストン、3/2、SABRを含む5つの異なるモデル・ダイナミクスにおいて、高い精度を達成しており、パラメータ領域をまたがって一貫した性能を示す。
• ローカル・ボラティリティおよびストキャスティック・ボラティリティ成分の変動に対しても頑健であり、非アフィンな設定下でも精度を維持する。
• このアプローチにより、一般のローカル・ストキャスティック・ボラティリティ・モデル下でのヨーロピアン・オプションの直接的解析的プライシングが可能となり、計算コストが著しく削減される。
• このフレームワークは包括的であり、検討されたクラスに属する任意のモデルに適用可能で、インプライド・ボラティリティ近似の統一的ソリューションを提供する。
• 結果は、漸近的展開が非常に高精度かつ計算的に効率的であり、伝統的な数値的手法よりも速度で優れており、精度を保持していることを示している。