[論文レビュー] Implied volatility explosions: European calls and implied volatilities close to expiry in exponential Lévy models

Michael Roper|ArXiv.org|Sep 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、指数型Lévyモデルにおけるヨーロピアン・コール・オプションの価格およびインプライド・ボラティリティの短期満期挙動を分析する。オプション価格と内在価値の乖離は、満期までの時間に比例して線形に増大し、その割合はLévy測度によって決定される。これにより、満期に近づくとインプライド・ボラティリティが無限大に発散するが、これはATM（現在の価格とストライク価格が等しい）を除くすべての状況で成立する。この結果は、ジャンプを含むLévy過程に対しても、一般な条件下で成り立つ。

ABSTRACT

We examine the small expiry behaviour of European call options in stock price models of exponential Lévy type. In most cases of interest, we are able to identify the exact small expiry asymptotics. In "complete generality" we are able to show that the time value of the call option has O(τ) decay as τ(time to expiry) goes to zero. Using our results on the behaviour of call options close to expiry we show that implied volatility explodes as $τ o0^+$ in "most" exponential Lévy models. Attention is restricted to calls and implied volatilities that are not at-the-money.

研究の動機と目的

• 指数型Lévyモデルにおけるヨーロピアン・コール・オプション価格の満期に近い挙動を理解すること。
• 満期までの時間がゼロに近づく際にインプライド・ボラティリティが発散する条件を特定すること。
• 滑らかなLévy密度を要件とする既存の漸近結果を、滑らかでない場合にも一般化すること。
• 特にアウト・オブ・ザ・マネー・ストライクに対して、Lévy測度に基づいたオプション価格の明示的漸近挙動を確立すること。
• 満期に近づくと、ジャンプを含む大多数の指数型Lévyモデルでインプライド・ボラティリティが無限大に発散することを厳密に証明すること。

提案手法

• マーティングール・マーケット下で、$ S_\tau = S_0 e^{X_\tau} $ と表される表現を用い、$ X $ をLévy測度 $ \nu $ を持つLévy過程とする。
• 有界関数や連続関数に限らない、関数 $ f $ に対して一般化された極限結果 $ \lim_{\tau \to 0^+} \frac{1}{\tau} \mathbb{E}[f(X_\tau)] = \int_{\mathbb{R}} f(x) \, \nu(dx) $ を適用し、より広い範囲に拡張する。
• 関数 $ c(x) = (S_0 e^x - K)^+ $（$ S_0 < K $ の場合）および $ p(x) = (K - S_0 e^x)^+ $（$ S_0 > K $ の場合）を分析し、漸近結果に必要な可積分性および正則性条件を満たすことを示す。
• 主要項の漸近展開を導出：$ S_0 < K $ のとき $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $ が $ \tau \to 0^+ $ のとき成り立ち、同様に $ S_0 > K $ の場合も成立する。
• 漸近的オプション価格挙動を用いて、Black-Scholes式と結びつけることで、$ \tau \to 0^+ $ のときインプライド・ボラティリティのパrameterが発散することを導出する。
• Landauのビッグオーおよびリトルオー表記を用いて、漸近挙動を形式化し、Lévy過程に最小限の仮定を置いた状態で結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数型Lévyモデルにおいて、満期までの時間がゼロに近づくとヨーロピアン・コール・オプションの価格はどのように変化するか？
• RQ2 ジャンプを含むモデルにおいて、満期までの時間がゼロに近づくとインプライド・ボラティリティが発散する条件は何か？
• RQ3 Lévy測度 $ \nu $ が密度を持たない場合でも、オプション価格の漸近挙動を $ \nu $ の形で明示的に表現できるか？
• RQ4 インプライド・ボラティリティは満期前に常に有限であるか？ また、$ \tau \to 0^+ $ のとき、いつ発散するか？
• RQ5 オプション価格が内在価値に収束する正確な速度は何か？ また、ストライク価格がスポット価格に対して相対的にどのように依存するか？

主な発見

• $ S_0 < K $ の場合、Lévy過程にやや弱い条件下で、オプション価格と内在価値の差は $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (S_0 e^x - K)^+ \, \nu(dx) $ を満たし、$ \tau \to 0^+ $ のとき成り立つ。
• $ S_0 > K $ の場合、同様に $ \mathbb{E}[(S_\tau - K)^+] - (S_0 - K)^+ \sim \tau \int_{\mathbb{R}} (K - S_0 e^x)^+ \, \nu(dx) $ が $ \tau \to 0^+ $ のとき成り立つ。
• 正則性仮定がなければ、価格の乖離は依然として $ \mathcal{O}(\tau) $ であるが、正確な割合はLévy測度に依存する。
• ほとんどの指数型Lévyモデル（Variance Gamma, NIG, CGMY, Meixner, Generalized Hyperbolic, Normal Tempered Stableなど）において、$ \tau \to 0^+ $ のときインプライド・ボラティリティが無限大に発散する。
• これは、Lévy測度がゼロから離れた場所で正の密度を持つ場合、Black-Scholes式におけるインプライド・ボラティリティパラメータが、$ \tau $ に比例するオプション価格乖離を再現するために無限大に発散しなければならないためである。
• インプライド・ボラティリティは $ \tau > 0 $ では常に有限であるが、Lévy測度が非退化であれば、ジャンプが有限変動を示すモデルであっても、$ \tau \to 0^+ $ の極限で発散する。