[論文レビュー] Improper filtrations for C*-algebras: spectra of unilateral tridiagonal operators

William Arveson|ArXiv.org|Nov 23, 1992

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、C*-代数に属する片側三重対角作用素の固有値による有限次元圧縮を用いたスペクトル近似に関して、きめ細かな収束枠組みを確立する。$n \times n$ 切断の経験的スペクトル測度が無限作用素のスペクトル測度に弱収束することを証明し、標準的な固有値ソルバーによるスペクトルの信頼性の高い数値計算を可能にする。

ABSTRACT

We extend the results of our previous paper "C*-algebras and numerical linear algebra" to cover the case of "unilateral" sections. This situation bears a close resemblance to the case of Toeplitz operators on Hardy spaces, in spite of the fact that the operators here are far from Toeplitz operators. In particular, there is a short exact sequence 0 --> K --> A --> B --> 0 whose properties are essential to the problem of computing the spectra of self adjoint operators.

研究の動機と目的

• 量子力学に現れる無限次元三重対角作用素のスペクトルを数値的に近似する理論的基盤を確立すること。
• $n \times n$ 片側圧縮の固有値が $n \to \infty$ の際に、全作用素のスペクトル測度に収束することを示すこと。
• 作用素とシフトによって生成される $C^*$-代数上の固有トレース状態と関連して、スペクトル測度 $\mu_T$ を定義すること。
• 与えられた点がスペクトルに属するかどうかを、固有値密度に基づいて決定する実用的な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• $H = \ell^2(\mathbb{Z})$ のフィルトレーション $\{H_n\}$ を $H_n = \text{span}\{e_1, \dots, e_n\}$ で定義するが、これは $H_+ \neq H$ であるため不適切である。
• 全三重対角作用素 $T$ を $H_n$ に圧縮した $n \times n$ 片側行列 $T_n$ を導入する。
• $n \to \infty$ の際に、正規化された固有値数え上げ測度 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\lambda_i^n}$ がスペクトル測度 $\mu_T$ に弱収束することを証明する。
• $\mathcal{A}$ をシフトと対角作用素 $M_d$ で生成される $C^*$-代数とするとき、$\mu_T$ が $\mathcal{A}$ 上の固有トレース状態 $\tau$ の押し出し写像であることを確立する。
• $\mathcal{A}$ の単純性を用いて $\tau$ が忠実であることを示し、したがって $\mu_T$ が $\sigma(T)$ に正確に台を持つことを示す。
• 不適切なフィルトレーションに関する定理 2.3 を適用し、スペクトル分布のもとで経験的測度の弱収束を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重対角作用素の $n \times n$ 片側圧縮の固有値の列は、全作用素のスペクトルに収束するか？
• RQ2 無限三重対角作用素のスペクトル測度 $\mu_T$ は、有限切断からの経験的測度の弱極限として回復可能か？
• RQ3 作用素とシフトによって生成される $C^*$-代数上の固有トレース状態が、スペクトル測度を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 与えられた実数 $\lambda$ が作用素 $T$ のスペクトルに属するかどうかを、有限行列 $T_n$ の固有値のみを用いてどう判定できるか？
• RQ5 スペクトル点 $\lambda$ の近傍における $T_n$ の固有値の数の増加率はどの程度か？

主な発見

• $n \times n$ 片側切断 $T_n$ の経験的スペクトル測度 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \delta_{\lambda_i^n}$ は $n \to \infty$ の際に、スペクトル測度 $\mu_T$ に弱収束する。
• $T$ のスペクトルは、$\mathcal{A}$ 上のトレース $\tau$ を通じて定義される $\mu_T$ の閉じた台に正確に一致する。
• 実数 $\lambda$ が $T$ のスペクトルに属するのは、$\lambda$ の任意の近傍で $T_n$ の固有値が正の密度で集積するときである。
• 任意のボレル集合 $I$ について $\mu_T(\partial I) = 0$ ならば、十分大きな $n$ に対して $n \alpha \leq N_n(I) \leq n \beta$ が成り立ち、ここで $\alpha < \mu_T(I) < \beta$ である。
• $\lambda$ がスペクトルに属しない場合、$\lambda$ の小さな近傍 $I$ に対して $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} N_n(I) = 0$ であり、$N_n(I)$ は $n$ に関して一様有界である。
• 収束は有効的である：固定された $n$ に対して $N_n((-∞, x])$ は迅速に計算可能であるため、スペクトルおよびその測度の効率的な数値近似が可能になる。