[論文レビュー] Improved Approximation Algorithms for Earth-Mover Distance in Data Streams

Arman Yousefi, Rafail Ostrovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Data Management and Algorithms参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元離散グリッド $[\Delta]^2$ 上の2つのマルチセットの間のエアス・ムーバー・ディスタンス（EMD）を近似する2つのストリーミングアルゴリズムを提示する。一方のセットには $k = \log^{O(1)}(\Delta n)$ 個の異なる点しか存在しない。最初のアルゴリズムは、挿入のみのモデルで $O(k\epsilon^{-2}\log^4 n)$ の空間で $(1+\epsilon)$-近似を達成する。第二のアルゴリズムは、転倒型（turnstile）モデルで $O(\min(k^3, \log\Delta))$-近似を $O(\log^3\Delta \cdot \log\log\Delta \cdot \log n)$ の空間で達成する。この手法は階層的グリッド分割と $\ell_1$ スケッチ技術を活用する。

ABSTRACT

For two multisets $S$ and $T$ of points in $[Δ]^2$, such that $|S| = |T|= n$, the earth-mover distance (EMD) between $S$ and $T$ is the minimum cost of a perfect bipartite matching with edges between points in $S$ and $T$, i.e., $EMD(S,T) = \min_{π:S ightarrow T}\sum_{a\in S}||a-π(a)||_1$, where $π$ ranges over all one-to-one mappings. The sketching complexity of approximating earth-mover distance in the two-dimensional grid is mentioned as one of the open problems in the literature. We give two algorithms for computing EMD between two multi-sets when the number of distinct points in one set is a small value $k=\log^{O(1)}(Δn)$. Our first algorithm gives a $(1+ε)$-approximation using $O(kε^{-2}\log^{4}n)$ space and works only in the insertion-only model. The second algorithm gives a $O(\min(k^3,\logΔ))$-approximation using $O(\log^{3}Δ\cdot\log\logΔ\cdot\log n)$-space in the turnstile model.

研究の動機と目的

• データストリーム制約下での2次元グリッドにおけるEMDスケッチの複雑さに関する未解決問題に取り組むこと。
• 1つの入力セットに少数の異なる点しか存在しない場合に、サブ線形空間でEMDを近似する効率的なストリーミングアルゴリズムを設計すること。
• 挿入のみおよび転倒型の両方のデータストリームモデルにおいて、先行研究を上回るより良い近似比を達成すること。
• 階層的グリッド分割と $\ell_1$ 埋め込み技術を用いて、近似品質の理論的保証を提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、セルサイズが増加するレベルに分けた $[\Delta]^2$ グリッドの階層的分解を用い、各レベルで異なるスケールでのマッチングコストを捉える。
• 各レベル $i$ において、$C_i = \min_j \|V_{G^j_i}(S) - V_{G^j_i}(T)\|_1$ を計算する。これは、グリッドセル内の点数の $\ell_1$ 差を表す。
• 最適マッチングのエッジを、そのエッジの $\ell_1$ ノルム以下のセルサイズを持つレベルに割り当てることで、下界を確立する。パス分解の議論により、$C_i$ とエッジ数の関係を関連付ける。
• 最終的な推定値は $Y = \frac{1}{2}\sum_i 2^i \cdot C_i$ であり、これが真のEMDから $O(k^2)$ の範囲内にあることが示されている。
• 転倒型モデルでは、この階層的推定値と Indyk (2007) の $O(\log\Delta)$-近似を組み合わせ、両方の推定値のうち小さい方を返す。
• ランダムサンプリングと $\ell_1$ スケッチを用いることで、$\ell_1$ 差の推定にのみ $O(\log^3\Delta \cdot \log\log\Delta \cdot \log n)$ の空間を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つのセットに少数の異なる点しか存在しない場合に、挿入のみのモデルで2次元グリッドにおけるEMDに対して $(1+\epsilon)$-近似を達成できるか、多項式対数的空間で可能か？
• RQ2 制限された異なる点数が与えられた場合、多項式対数的空間で転倒型モデルにおけるEMDの最良近似比は何か？
• RQ3 階層的グリッド分割と $\ell_1$ スケッチを組み合わせることで、ストリーミング環境で強力な近似保証を得られるか？
• RQ4 複数の近似戦略を組み合わせることで、より良い全体的な近似比を達成する方法はあるか？

主な発見

• 最初のアルゴリズムは、$O(k\epsilon^{-2}\log^4 n)$ の空間を用いて、挿入のみのモデルでEMDに対して $(1+\epsilon)$-近似を達成する。ここで $k$ は1つのセット内の異なる点の数である。
• 第二のアルゴリズムは、$O(\log^3\Delta \cdot \log\log\Delta \cdot \log n)$ の空間を用いて、転倒型モデルで $O(\min(k^3, \log\Delta))$-近似を達成する。
• 解析により、階層的推定値 $Y = \frac{1}{2}\sum_i 2^i C_i$ が真のEMDから $O(k^2)$ の範囲内にあることが証明され、スケッチ手法と組み合わせると $O(k^3)$-近似が得られる。
• このアルゴリズムは、階層的推定値 $Y$ と先行研究からの $O(\log\Delta)$-近似を組み合わせ、最終的な推定値が真のEMDから $O(\min(k^3, \log\Delta))$ の範囲内にあることを保証する。
• 下界の確立により、$Y$ が真のEMDの $\Omega(1/k^2)$ 以上であることが示され、近似保証の根拠となる。
• 結果として、1つの入力に少数の異なる点しか存在しない場合に、多項式対数的空間で非自明なEMD近似が可能であることが示され、ストリーミングにおけるEMD計算の最先端を前進させる。