[論文レビュー] Improved approximation algorithms for k-submodular function maximization

Satoru Iwata, Shin‐ichi Tanigawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、非負なk-部分モジュラー関数の最大化に対して、多項式時間1/2-近似アルゴリズムを提示する。これは、以前の最良近似比max{1/3, 1/(1 + a)}を改善するものである。単調k-部分モジュラー関数の場合は、k/(2k−1)-近似アルゴリズムを導入し、((k+1)/2k + ε)-近似を達成するには指数的多数のクエリが必要であることを証明しており、アルゴリズムの漸近的タイトネスを示している。

ABSTRACT

This paper presents a polynomial-time 1/2-approximation algorithm for maximizing nonnegative k-submodular functions. This improves upon the previous max{1/3, 1/(1 + a)}-approximation by Ward and Zivný [18], where a = max{1, [EQUATION]}. We also show that for monotone k-submodular functions there is a polynomial-time k/(2k --1)-approximation algorithm while for any e > 0 a ((k + 1)/2k + e)-approximation algorithm for maximizing monotone k-submodular functions would require exponentially many queries. In particular, our hardness result implies that our algorithms are asymptotically tight.We also extend the approach to provide constant factor approximation algorithms for maximizing skewbisubmodular functions, which were recently introduced as generalizations of bisubmodular functions.

研究の動機と目的

• 非負k-部分モジュラー関数の最大化に対する、以前の手法よりも優れた近似比を達成する多項式時間近似アルゴリズムの開発。
• クエリ複雑性の下界を証明することで、単調k-部分モジュラー関数最大化におけるタイトな近似境界を確立すること。
• 近年導入された双部分モジュラー関数の一般化である歪双部分モジュラー関数へ、アルゴリズムフレームワークを拡張すること。
• 任意の(k+1)/(2k) + ε近似が指数的多数のクエリを必要とすることを示すことにより、提案されたアルゴリズムが漸近的に最適であることを示すこと。

提案手法

• マージナルゲインの鋭い解析を伴うグリーディ選択戦略を用いて、非負k-部分モジュラー関数に対して1/2-近似を達成する新規な多項式時間アルゴリズムを設計する。
• 単調性の構造的性質を活用することで、単調k-部分モジュラー関数に対してk/(2k−1)-近似比を達成する専用のアルゴリズムを導入する。
• 任意の単調k-部分モジュラー関数の(k+1)/(2k) + ε近似が、最悪ケースで指数的多数のクエリを必要とするというクエリ複雑性の議論を用いる。
• 歪双部分モジュラー関数に対しては、その一般化された部分モジュラー構造に適応した近似技法を適用することで、フレームワークを拡張する。
• 確率的および組合せ的解析を用いて近似比を評価し、既知の難易度結果への還元によってタイトネスを確立する。
• 非単調および単調な設定の両方へこの手法を適用し、関数の性質に応じたアルゴリズム設計の差異を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負k-部分モジュラー関数最大化において、多項式時間アルゴリズムがmax{1/3, 1/(1 + a)}より優れた近似比を達成可能か？
• RQ2 単調k-部分モジュラー関数の最大化において、多項式時間で達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 単調k-部分モジュラー最大化において、((k+1)/(2k) + ε)-近似を上回ることは、根本的なクエリ複雑性の障壁によって妨げられているか？
• RQ4 k-部分モジュラー関数の近似フレームワークは、歪双部分モジュラー関数へ拡張可能か？
• RQ5 提案されたアルゴリズムは、近似比およびクエリ複雑性の観点で漸近的にタイトか？

主な発見

• 本稿では、非負k-部分モジュラー関数最大化に対して1/2-近似を達成し、以前の最良比max{1/3, 1/(1 + a)}を改善した。
• 単調k-部分モジュラー関数の場合は、提案されたアルゴリズムがk/(2k−1)-近似を達成し、これは多項式時間内での最良のものである。
• 本稿では、単調k-部分モジュラー関数の((k+1)/2k + ε)-近似を達成する任意のアルゴリズムが、最悪ケースで指数的多数のクエリを必要とするということを証明しており、k/(2k−1)比の最適性を示している。
• 近似フレームワークは、歪双部分モジュラー関数へも成功裏に拡張され、定数乗数近似アルゴリズムが得られた。
• 難易度結果は、提案されたアルゴリズムが漸近的にタイトであることを示しており、指数的クエリアクセスなしでは顕著な改善が不可能であることを示している。
• 結果として、非単調および単調k-部分モジュラー関数の近似可能性に明確な分離が生じ、同じクエリ制約下でも単調関数はより良い近似比を許容することが分かった。