[論文レビュー] Improved Approximation Algorithms for the Non-preemptive Speed-scaling Problem

Evripidis Bampis, Giorgio Lucarelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2012

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、中断不能なジョブを処理する非プリエンプティブなスピーどスケーリング問題に対する改善された近似アルゴリズムを提示する。ジョブを同意可能、クリーク、またはラミナーインスタンスに分割する革新的なアルゴリズムフレームワークを導入し、最適なプリエンプティブスケジューリングと非プリエンプティブなスピーど調整を組み合わせる2段階的手法を採用することで、mプロセッサ上で同意可能インスタンスに対して $(4(2 - 1/m))^{α-1}$-近似比を達成する。

ABSTRACT

We are given a set of jobs, each one specified by its release date, its deadline and its processing volume (work), and a single (or a set of) speed-scalable processor(s). We adopt the standard model in speed-scaling in which if a processor runs at speed s then the energy consumption is s^α per time unit, where α>1. Our goal is to find a schedule respecting the release dates and the deadlines of the jobs so that the total energy consumption is minimized. While most previous works have studied the preemptive case of the problem, where a job may be interrupted and resumed later, we focus on the non-preemptive case where once a job starts its execution, it has to continue until its completion without any interruption. We propose improved approximation algorithms for particular instances of the multiprocessor non-preemptive speed-scaling problem.

研究の動機と目的

• ジョブ実行が中断できない非プリエンプティブなスピーどスケーリング問題に取り組み、動的電圧/周波数スケーリングの下でエネルギー消費を最小化する。
• 非プリエンプティブなバージョンの強いNP困難性を克服するため、特殊なインスタンスクラスに対して効率的な近似アルゴリズムを設計する。
• 現実のスケジューリング制約をモデル化する実用的で構造的な入力クラス（同意可能、クリーク、ラミナーインスタンス）に焦点を当てる。
• 特に m ≥ 1 のマルチプロセッサ環境において、先行研究より優れた近似保証を提供する。
• 最適なプリエンプティブスケジュールを下限基準として活用し、非プリエンプティブスケジューリング意思決定を導くフレームワークを確立する。

提案手法

• 臨界時刻 T₁, ..., Tₖ に基づき、入力ジョブを k 個の連続する時間間隔に基づく部分インスタンス $\mathcal{I}_1, \dots, \mathcal{I}_k$ に分割する。
• 各部分インスタンス $\mathcal{I}_\ell$ に対して、既知の多項式時間アルゴリズムを用いて最適なプリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$ を計算する。
• プリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$ を、非プリエンプティブル制約を満たすようにジョブ速度と実行時間帯を調整することにより、非プリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$ に変換する。
• 重要な構造的性質を用いる：隣接する部分インスタンスに属する任意の2ジョブについて、そのアクティブ時間帯は重複しない。これによりスケジュールの整合性が保証される。
• ジョブ速度を2倍に増加させることで実行時間を圧縮するスピーどスケーリング変換を適用する。これによりエネルギーコストは $2^{\alpha-1}$ 倍に増加するが、これは命題6により有界である。
• 部分インスタンス間の非プリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$ を連結して、最終的なスケジュール $\mathcal{S}_{npr}$ を構築する。これにより、すべてのリリースおよびデッドライン制約が満たされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数プロセッサ上で非プリエンプティブなスピーどスケーリング問題に対して、定数因子近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 同意可能、クリーク、またはラミナーインスタンスにおける非プリエンプティブスケジューリングで達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ3 同じ制約下で、非プリエンプティブスケジュールのエネルギーコストは、最適なプリエンプティブスケジュールのエネルギーコストとどのように関係するか？
• RQ4 一般インスタンスを部分インスタンスに分解することで、結果として得られる非プリエンプティブスケジュールが整合的かつ近似的に最適なままであるようにできるか？
• RQ5 時間間隔の圧縮（速度増加による）が、非プリエンプティブ環境におけるエネルギー消費に与える影響は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、mプロセッサ上で同意可能インスタンスに対して、非プリエンプティブなスピーどスケーリング問題において $(4(2 - 1/m))^{α-1}$-近似比を達成する。
• 各部分インスタンス $\mathcal{I}_\ell$ に対して、非プリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$ のコストは、最適なプリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{pr}^{(\ell)}$ のコストの $(2(2 - 1/m))^{α-1}$ 倍以下である。
• 変換されたスケジュール $\mathcal{S}_{npr}^{(\ell)}$ のエネルギーコストは、圧縮された時間帯におけるプリエンプティブスケジュールのコストの $2^{\alpha-1}$ 倍以下に抑えられ、命題6で形式化されている。
• 部分インスタンス間の非プリエンプティブスケジュールの連結は、$\mathcal{I}_\ell$ に属する任意のジョブのデッドラインが $\mathcal{I}_{\ell+1}$ に属する任意のジョブのリリース時間よりも厳密に前であるため、整合的である。
• 最終的な非プリエンプティブスケジュール $\mathcal{S}_{npr}$ の総エネルギーは、全インスタンスの最適なプリエンプティブスケジュールのエネルギーの $(4(2 - 1/m))^{α-1}$ 倍以下に抑えられる。
• このフレームワークは一般性を持ち、共通リリース日時、共通デッドライン、および純ラミナーモデルといった特殊ケースにも適用可能であり、これらはすべて同意可能クラスに包含される。