[論文レビュー] Improved ARV Rounding in Small-set Expanders and Graphs of Bounded Threshold Rank

Shayan Oveis Gharan, Luca Trevisan|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、低閾値ランクグラフおよび小集合拡張子におけるArora-Rao-Vazirani (ARV) の半定形計画法（SDP）緩和問題の最適解が、有界半径の球の少数でほぼ覆えることを示す構造定理を提示する。この論文は、ARV緩和問題に対する $O(\sqrt{\log k})$ 近似比を達成するラウンドリングスキームを導入し、$k$ を被覆球の数として、$k$ 階の Sherali-Adams ヒエラルキーを用いることで定数近似を得る。ここで $k$ は被覆に必要な球の数である。

ABSTRACT

We prove a structure theorem for the feasible solutions of the Arora-Rao-Vazirani SDP relaxation on low threshold rank graphs and on small-set expanders. We show that if G is a graph of bounded threshold rank or a small-set expander, then an optimal solution of the Arora-Rao-Vazirani relaxation (or of any stronger version of it) can be almost entirely covered by a small number of balls of bounded radius. Then, we show that, if k is the number of balls, a solution of this form can be rounded with an approximation factor of O(sqrt {log k}) in the case of the Arora-Rao-Vazirani relaxation, and with a constant-factor approximation in the case of the k-th round of the Sherali-Adams hierarchy starting at the Arora-Rao-Vazirani relaxation. The structure theorem and the rounding scheme combine to prove the following result, where G=(V,E) is a graph of expansion ϕ(G), λ_k is the k-th smallest eigenvalue of the normalized Laplacian of G, and ϕ_k(G) = \min_{disjoint S_1,...,S_k} \max_{1 <= i <= k} ϕ(S_i) is the largest expansion of any k disjoint subsets of V: if either λ_k >> log^{2.5} k \cdot phi(G) or ϕ_{k} (G) >> log k \cdot sqrt{log n}\cdot loglog n\cdot ϕ(G), then the Arora-Rao-Vazirani relaxation can be rounded in polynomial time with an approximation ratio O(sqrt{log k}). Stronger approximation guarantees are achievable in time exponential in k via relaxations in the Lasserre hierarchy. Guruswami and Sinop [GS13] and Arora, Ge and Sinop [AGS13] prove that 1+eps approximation is achievable in time 2^{O(k)} poly(n) if either λ_k > ϕ(G)/ poly(eps), or if SSE_{n/k} > sqrt{log k log n} \cdot ϕ(G)/ poly(eps), where SSE_s is the minimal expansion of sets of size at most s.

研究の動機と目的

• 有界閾値ランクまたは小集合拡張性を示すグラフにおける均一スパーステストカット問題に対する多項式時間近似アルゴリズムの開発。
• 有界半径のボール被覆の観点から、最適ARV緩和解の構造的特徴づけの確立。
• 標準的な $O(\sqrt{\log n})$ の境界を超えて、制限付きグラフクラスにおけるARVラウンドリングスキームの近似比の向上。
• $k$ を被覆球の数として、$k$ 階の Sherali-Adams ヒエラルキーを用いることで、時間 $2^{O(k)}$ で定数近似が達成可能であることを示す。
• 改善された近似が実際に有効であることが保証されるためのスペクトル的または拡張的条件の同定。

提案手法

• 構造定理の証明：低閾値ランクグラフまたは小集合拡張子におけるARV緩和問題の任意の最適解は、$k$ 個の有界半径の球でほぼ完全に被覆可能であることを示す。
• メトリック埋め込みと確率的ラウンドリング技術を用いて、ボール被覆構造からカットを構築する。
• 中心点からの距離関数 $f(v) = d(a_1, v)$ を用いたランダムラウンドリングスキームを適用し、集合 $A$ における $\ell_1$-不一致が大きいカットを得る。
• 三角不等式と集中不等式を活用し、元のメトリック $d^2_{\mathbf{x}}$ の距離とラウンドされたメトリック $d(\cdot, \cdot)$ の距離を関連付ける。
• ARV緩和問題の $k$ 階の Sherali-Adams ヒエラルキーを適用して緩和を強化し、時間 $2^{O(k)}$ で定数近似を可能にする。
• 確率的議論を用いて、定数の確率でラウンドされたメトリックが集合 $A$ において大きな $\ell_1$-不一致を保持することを示し、良好なカットが得られることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界閾値ランクまたは小集合拡張性を示すグラフにおいて、ARVラウンドリングスキームを改善できるか？
• RQ2 どのようなスペクトル的または拡張的条件下で、ARV緩和問題が $O(\sqrt{\log k})$ 近似でラウンド可能か？
• RQ3 ARV緩和問題に $k$ 階の Sherali-Adams ヒエラルキーを適用することで、時間 $2^{O(k)}$ で定数近似が達成可能か？
• RQ4 このようなグラフにおけるARV解に、より良いラウンドリングを可能にする構造的性質が存在するか？
• RQ5 $\lambda_k$、$\phi_k(G)$ と、ARV緩和問題による達成可能な近似比との関係は何か？

主な発見

• 有界閾値ランクまたは小集合拡張性を示すグラフにおけるARV緩和問題の最適解は、$k$ 個の有界半径の球でほぼ完全に被覆可能である。
• このようなグラフにおいて、ARV緩和問題は多項式時間で $O(\sqrt{\log k})$ 近似比でラウンド可能である。
• $\lambda_k \gtrsim \log^{2.5}k \cdot \phi(G)$ または $\phi_k(G) \gtrsim \log k \cdot \sqrt{\log n} \cdot \log\log n \cdot \phi(G)$ が成り立つならば、ARV緩和問題は多項式時間で $O(\sqrt{\log k})$-近似が可能である。
• ARV緩和問題の $k$ 階の Sherali-Adams ヒエラルキーを用いることで、時間 $2^{O(k)}$ で定数近似が達成可能である。
• ラウンドリングスキームは、$|C| = 2k$ の中心点集合 $C$ を用いたFrechet埋め込み $f$ を構築することに依存しており、三角不等式とメトリック集中による距離保存性の保証が得られる。
• 重要な技術的ステップとして、$\sum_{u,v \in A} |f(u) - f(v)| \gtrsim n^2 / \sqrt{\log k}$ が示され、これは高確率で良好なカットが得られることを意味する。