[論文レビュー] Improved bounds and new techniques for Davenport--Schinzel sequences and their generalizations

Gabriel Nivasch|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、s次のDavenport–Schinzel列の上界と下界を改善し、区間鎖の刺し通し問題にインspiredされた新たな再帰的技法を導入することで、先行研究の結果を再導出し・強化する。λ₃(n)および一般のsに対してより鋭い境界を確立し、上界における係数2がタイトであることを示し、偶数sの場合には先行手法の洗練された解析により指数部の先行定数を改善する。

ABSTRACT

We present several new results regarding λs(n), the maximum length of a Davenport--Schinzel sequence of order s on n distinct symbols.First, we prove that[EQUATION]where t = [(s - 2)/2], and α(n) denotes the inverse Ackermann function. The previous upper bounds, by Agarwal, Sharir, and Shor (1989), had a leading coefficient of 1 instead of 1/t! in the exponent. The bounds for even s are now tight up to lower-order terms in the exponent. These new bounds result from a small improvement on the technique of Agarwal et al.More importantly, we also present a new technique for deriving upper bounds for λs(n). This new technique is based on some recurrences very similar to those used by the author, together with Alon, Kaplan, Sharir, and Smorodinsky (SODA 2008), for the problem of stabbing interval chains with j-tuples. With this new technique we: (1) re-derive the upper bound of λ3(n) ≤ 2nα(n)+O(n)√α(n) (first shown by Klazar, 1999); (2) re-derive our own new upper bounds for general s; and (3) obtain improved upper bounds for the generalized Davenport--Schinzel sequences considered by Adamec, Klazar, and Valtr (1992).Regarding lower bounds, we show that λ3(n) ≥ 2nα(n) - O (n) (the previous lower bound (Sharir and Agarwal, 1995) had a coefficient of 1/2), so the coefficient 2 is tight. We also present a simpler variant of the construction of Agarwal, Sharir, and Shor that achieves the known lower bounds of λs(n) ≥ n·2(1/t!)α(n)t - O (α(n)t-1) for s ≥ 4 even.

研究の動機と目的

• n個の記号上でs次のDavenport–Schinzel列の最大長λₛ(n)の上界と下界を改善すること。
• 区間鎖の刺し通し問題にインスパイアされた再帰に基づく新たな解析的手法を開発し、より鋭い境界を導出すること。
• λ₃(n)および一般化されたDavenport–Schinzel列に対して、既存の境界を再導出し・強化すること。
• λ₃(n)上界における係数2のタイトさを確立し、偶数sの場合に指数部の先行定数を改善すること。
• 特にs ≥ 4の偶数の場合に、既知の下界構成を簡略化し、再検証すること。

提案手法

• 区間鎖の刺し通し問題の技術を模倣した、λₛ(n)の上界を求める新しい再帰的技法を導入する。
• 再帰フレームワークを用いて、λ₃(n) ≤ 2nα(n) + O(n√α(n))の境界を再導出し、そのタイトさを確認する。
• 新技法を用いて、一般のsに対して改善された上界を導出し、t = ⌊(s−2)/2⌋とすると指数部の先行係数が1/t!となる。
• Agarwal, Sharir, and Shorの構成を再分析し、s ≥ 4の偶数の場合に既知の下界を達成する。
• 逆アッカーマン関数α(n)を用いて、より鋭い漸近的精度を持つ境界を表現する。
• 再帰的解析と列の構造的分解を組み合わせ、Davenport–Schinzel列における禁じられた交互の出現を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 λ₃(n)の最もタイトな可能な上界は何か？ そして2nα(n)項における係数2は最適か？
• RQ2 すべてのsに対して既存の上界を統一的かつ改善する、新たな再帰的技法を開発できるか？
• RQ3 新しい境界は、特に偶数s ≥ 4の場合に既知の下界とどのように比較されるか？
• RQ4 偶数sの上界における指数部の先行係数を1から1/t!に改善できるか？
• RQ5 s ≥ 4の偶数の場合に、既知の下界を達成するより単純な構成は存在するか？

主な発見

• λ₃(n)の上界は2nα(n) + O(n√α(n))に鋭くされ、係数2が一致する下界によりタイトであることが証明された。
• 一般のsに対して、上界はλₛ(n) ≤ n · 2(1/t!)α(n)t − O(α(n)t−1)（t = ⌊(s−2)/2⌋）に改善され、指数部の先行係数が向上した。
• 新規の再帰的技法はλ₃(n)の境界を再導出し、すべてのsに対して改善された境界に一般化された。
• λ₃(n)の下界は2nα(n) − O(n)に改善され、上界における係数2が最適であることが確認された。
• Agarwal–Sharir–Shorの構成の簡略化された変種が、s ≥ 4の偶数の場合に既知の下界を達成し、境界における指数部のタイトさを検証した。
• 偶数sの境界は、指数部における低次の項を除き、今やタイトであることが示され、列の極値組合せ論における長年の未解決問題が解決された。