[論文レビュー] Improved bounds for reduction to depth 4 and depth 3

Sébastien Tavenas|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Apr 21, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、一般の算術回路を深さ4および深さ3の同次回路に還元する上界を改善し、n 変数で次数 d、サイズ s の多項式が、深さ4回路でサイズ $2^{O(\big(\mathrm{d}\log(ds)\log(n)\big)^{1/2})}$ で計算可能であることを示している。同様に深さ3回路でも同じ漸近的サイズが達成可能である。この結果は、従来の上界を改善し、深さ4回路の複雑さを最適に近づけ、パーマネントおよびデターミナント多項式の下界に影響を与える。

ABSTRACT

Koiran showed that if a $n$-variate polynomial of degree $d$ (with $d=n^{O(1)}$) is computed by a circuit of size $s$, then it is also computed by a homogeneous circuit of depth four and of size $2^{O(\sqrt{d}\log(d)\log(s))}$. Using this result, Gupta, Kamath, Kayal and Saptharishi gave a $\exp(O(\sqrt{d\log(d)\log(n)\log(s)}))$ upper bound for the size of the smallest depth three circuit computing a $n$-variate polynomial of degree $d=n^{O(1)}$ given by a circuit of size $s$. We improve here Koiran's bound. Indeed, we show that if we reduce an arithmetic circuit to depth four, then the size becomes $\exp(O(\sqrt{d\log(ds)\log(n)}))$. Mimicking Gupta, Kamath, Kayal and Saptharishi's proof, it also implies the same upper bound for depth three circuits. This new bound is not far from optimal in the sense that Gupta, Kamath, Kayal and Saptharishi also showed a $2^{Ω(\sqrt{d})}$ lower bound for the size of homogeneous depth four circuits such that gates at the bottom have fan-in at most $\sqrt{d}$. Finally, we show that this last lower bound also holds if the fan-in is at least $\sqrt{d}$.

研究の動機と目的

• 一般の算術回路を同次深さ4および深さ3回路に変換する際の既知の上界を改善すること。
• パーマネントおよびデターミナントを計算する深さ4回路の既存の上界と下界の差を埋めること。
• 回路の深さ還元と算術回路の超多項式的下界との関係を強化すること。
• 深さ4回路の下界（ファンインが有界または無限大の場合）が、一般回路の強い下界を示す可能性があることを示すこと。
• 数え上げ的議論と単項式のサポート技術を用いた回路複雑性の分析を精緻化すること。

提案手法

• より洗練されたコイランの深さ4還元技術を活用し、単項式のサポートとファンイン制約の tighter 界を組み込む。
• 乗算ゲートのファンインが有界であるように、算術回路を段階的な深さ4構造に階層的に分解する。
• 和と積における単項式の数に対する組合せ的境界を用いて、回路サイズの増加を制御する。
• 数え上げ的議論を用いて、パーマネントまたはデターミナントを計算する同次深さ4回路のサイズ下界を確立する。
• グイプタらの深さ3還元におけるコイランの境界を、改善された深さ4還元境界に置き換えることで、よりきめの細かい深さ3上界を導出する。
• 同じ枠組みを用いて、底辺のファンインが $\Omega(\sqrt{n})$ 以上である場合でも、下界が $2^{\Omega(\sqrt{n}\log n)}$ のまま保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般回路をシミュレートする同次深さ4算術回路のサイズを、コイランの境界を上回って改善できるか？
• RQ2 一般算術回路の深さ3回路シミュレーションの最もきつい上界は何か？
• RQ3 底辺のファンインが $\Omega(\sqrt{n})$ 以上である場合でも、パーマネントを計算する深さ4回路に対して $2^{\Omega(\sqrt{n}\log n)}$ の下界が成立するか？
• RQ4 深さ4還元を用いて、デターミナントの近似的に最適な深さ3上界を導出できるか？
• RQ5 底辺のファンインが制限された場合、同次深さ4回路がデターミナントを計算する最小サイズは何か？

主な発見

• 本論文は、サイズ s で次数 d の算術回路を同次深さ4回路に還元する新しい上界 $2^{O\big(\sqrt{d\log(ds)\log n}\big)}$ を確立した。
• この上界は、コイランの $2^{O(\sqrt{d}\log d\log s)}$ の上界を改善しており、特に $d, s = n^{O(1)}$ の場合、指数部を $\sqrt{n}\log^2 n$ から $\sqrt{n}\log n$ に削減する。
• 改善された深さ4上界は、同じクラスの回路に対して深さ3上界 $2^{O\big(\sqrt{d\log(ds)\log n}\big)}$ を示唆する。
• 底辺のファンインが $\Omega(\sqrt{n})$ 以上である場合、パーマネントまたはデターミナントを計算する同次深さ4回路に対して $2^{\Omega(\sqrt{n}\log n)}$ の下界が証明され、この境界がほぼタイトであることが示された。
• 本論文は、底辺のファンインに下限 $t$ がある場合でも、パーマネントを計算する深さ4回路のサイズが $2^{\Omega(t\log n)}$ であることを示し、従来の結果を一般化した。
• デターミナントに関しては、底辺のファンインが $\Omega(\sqrt{n})$ またはレベル3のファンインが $O(\sqrt{n})$ の場合、深さ4回路のサイズは $2^{\Theta(\sqrt{n}\log n)}$ 必要であり、既知の構成と一致することが確認された。