[論文レビュー] Improved bounds for the excluded-minor approximation of treedepth

Wojciech Czerwiński, Wojciech Nadara+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、木幅に対する除外マイナー近似境界を改善し、任意のグラフが木幅が少なくとも $ C a b $ 以上である場合、木幅が少なくとも $ a $ であるか、または木幅が少なくとも $ b $ である部分3次木を含むことを示している。ここで $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) $ である。この結果により、以前の $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ から $ \Omega(k^3) $ への依存関係の改善が達成され、$ O(k t \log^{3/2} t) $ の近似比を有する多項式時間近似アルゴリズムが可能になった。これは $ O(k t^2 \log t) $ よりも優れている。主な技術的進展は、与えられた木幅を持つ木における部分3次木の深さに関する下界の確立である。

ABSTRACT

Treedepth, a more restrictive graph width parameter than treewidth and pathwidth, plays a major role in the theory of sparse graph classes. We show that there exists a constant $C$ such that for every positive integers $a,b$ and a graph $G$, if the treedepth of $G$ is at least $Cab$, then the treewidth of $G$ is at least $a$ or $G$ contains a subcubic (i.e., of maximum degree at most $3$) tree of treedepth at least $b$ as a subgraph. As a direct corollary, we obtain that every graph of treedepth $\Omega(k^3)$ is either of treewidth at least $k$, contains a subdivision of full binary tree of depth $k$, or contains a path of length $2^k$. This improves the bound of $\Omega(k^5 \log^2 k)$ of Kawarabayashi and Rossman [SODA 2018]. We also show an application of our techniques for approximation algorithms of treedepth: given a graph $G$ of treedepth $k$ and treewidth $t$, one can in polynomial time compute a treedepth decomposition of $G$ of width $\mathcal{O}(kt \log^{3/2} t)$. This improves upon a bound of $\mathcal{O}(kt^2 \log t)$ stemming from a tradeoff between known results. The main technical ingredient in our result is a proof that every tree of treedepth $d$ contains a subcubic subtree of treedepth at least $d \cdot \log_3 ((1+\sqrt{5})/2)$.

研究の動機と目的

• 木幅に対する除外マイナー近似境界を改善し、$ k $ に依存する部分を $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ から $ \Omega(k^3) $ に低減すること。
• すべての木幅 $ d $ の木が、木幅が少なくとも $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ である部分3次木を含むという構造的結果を確立すること。
• この構造的結果を応用して、木幅と木幅に依存するより良い依存関係を持つ、より高速な多項式時間近似アルゴリズムを設計すること。
• 長さの長いパスや大きな2分木の部分分割を避けるが、高い木幅を維持する木のほぼ最適な構成を提供すること。

提案手法

• 木幅 $ d $ のすべての木が、少なくとも $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) $ の木幅を持つ部分3次木を含むことを示す。再帰的分解と根付き部分木の構造的解析を用いる。
• 部分3次木の結果を用いて、新しい除外マイナー近似を導出する：$ \text{td}(G) \geq C a b $ ならば、$ \text{tw}(G) \geq a $ または $ G $ は木幅が少なくとも $ b $ の部分3次木を含む。
• 補題1.1（木分解からの多項式時間木幅分解）を、木幅近似と組み合わせることで、近似比 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $ の新しい近似アルゴリズムを導出する。
• 長さ $ 2n+2 $ のパスも、深さ $ n+2 $ の完全2分木の部分分割も持たないが、木幅が $ \binom{n+1}{2} $ である木の族 $ G_n $ を再帰的に構成することで、境界のタイトさを示す。
• 木族 $ G_{a,b} $ に対する帰納的議論を用いて、木幅の下界を示し、$ 2a $ の長さのパスに $ b $ 深さの部分木を接続した木について $ \text{td}(H) \geq a + b $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木幅に対する除外マイナー近似境界を $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ から $ \Omega(k^3) $ に改善できるか？
• RQ2 与えられた木幅 $ d $ の木内に、部分3次木としての最大の木幅は何か？
• RQ3 部分3次木の構造的性質を活用することで、多項式時間木幅近似アルゴリズムの近似比を改善できるか？
• RQ4 除外マイナー近似の境界 $ \Omega(k^3) $ は定数倍の意味で最適か？

主な発見

• 論文は、新しい除外マイナー近似境界を確立した：$ \text{td}(G) \geq C a b $ ならば、$ \text{tw}(G) \geq a $ または $ G $ は木幅が少なくとも $ b $ の部分3次木を含む。ここで $ C = \log 3 / \log((1+\sqrt{5})/2) \approx 1.44 $ である。
• 境界は $ \Omega(k^5 \log^2 k) $ から $ \Omega(k^3) $ に改善され、木幅 $ \Omega(k^3) $ のグラフは、$ k \times k $ グリッドマイナーまたは木幅 $ \Omega(k) $ の部分3次木を含む必要があることが示された。
• 近似比 $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G) \cdot \log^{3/2} \text{tw}(G)) $ の新しい多項式時間近似アルゴリズムが提示された。これは以前の $ O(\text{td}(G) \cdot \text{tw}(G)^2 \cdot \log \text{tw}(G)) $ よりも優れている。
• 論文は、木幅 $ \binom{n+1}{2} $、長さ $ 2n+2 $ のパスを含まない、深さ $ n+2 $ の完全2分木の部分分割も持たない木の族 $ G_n $ を構成し、構造的境界のタイトさを示した。
• すべての木幅 $ d $ の木が、少なくとも $ d \cdot \log_3((1+\sqrt{5})/2) \approx d \cdot 0.67 $ の木幅を持つ部分3次木を含むという構造的結果が証明され、これが中心的な技術的ツールとして用いられた。