[論文レビュー] Improved bounds on coloring of graphs

Sokol Ndreca, Aldo Procacci+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、グラフ彩色の複数のパラメータ—非巡回辺彩色、非巡回頂点彩色、スターチャーミング、およびフラグル彩色—の上界を、Lovász Local Lemma の強化版を用いて改善している。最大次数 $Δ$ と周長 $g$ に依存するよりタイトな上界を確立し、$g \geq 53$ の場合に $a'(G) \leq \lceil 4.52(\Delta-1)\rceil$ が成り立ち、$\chi^\beta(G) \leq \lceil \max\{k_1(\beta)\Delta,\, k_2(\beta)\Delta^{1+1/\beta}/(\beta!)^{1/\beta}\} \rceil$ が成り立つ。$k_1(\beta) \in [4,6]$ は減少関数であり、$k_2(\beta) \in [2,5]$ である。

ABSTRACT

Given a graph $G$ with maximum degree $Δ\ge 3$, we prove that the acyclic edge chromatic number $a'(G)$ of $G$ is such that $a'(G)\le\lceil 9.62 (Δ-1) ceil$. Moreover we prove that: $a'(G)\le \lceil 6.42(Δ-1) ceil$ if $G$ has girth $g\ge 5\,$; $a'(G)\le \lceil5.77 (Δ-1) c$ if $G$ has girth $g\ge 7$; $a'(G)\le \lc4.52(\D-1) c$ if $g\ge 53$; $a'(G)\le \D+2\,$ if $g\ge \lceil25.84\D\log\D(1+ 4.1/\log\D) ceil$. We further prove that the acyclic (vertex) chromatic number $a(G)$ of $G$ is such that $a(G)\le \lc 6.59 Δ^{4/3}+3.3\D c$. We also prove that the star-chromatic number $χ_s(G)$ of $G$ is such that $χ_s(G)\le \lc4.34Δ^{3/2}+ 1.5\D c$. We finally prove that the $\b$-frugal chromatic number $χ^\b(G)$ of $G$ is such that $χ^\b(G)\le \lc\max\{k_1(\b)\D,\; k_2(\b){\D^{1+1/\b}/ (\b!)^{1/\b}}\} c$, where $k_1(\b)$ and $k_2(\b)$ are decreasing functions of $\b$ such that $k_1(\b)\in[4, 6]$ and $k_2(\b)\in[2,5]$. To obtain these results we use an improved version of the Lovász Local Lemma due to Bissacot, Fernández, Procacci and Scoppola \cite{BFPS}.

研究の動機と目的

• 最大次数 $\Delta$ を持つグラフについて、非巡回辺彩色数 $a'(G)$、非巡回頂点彩色数 $a(G)$、スターチャーミング数 $\chi_s(G)$、および $\beta$-フラグル彩色数 $\chi^\beta(G)$ の既存の上界を改善すること。
• 特に高周長のグラフに対して、グラフの周長 $g$ を組み込むことでこれらの上界を精緻化すること。
• クラスタ展開およびポリマー気体モデルに基づく、Lovász Local Lemma の改善版を用いて、よりタイトな集中度の上界を導出すること。
• 周長や次数といった構造的制約を活用することで、特に $a'(G)$ の既知の上界における定数を最適化すること。

提案手法

• クラスタ展開および統計力学に基づく、Bissacot-Fernandez-Procacci-Scoppola 変種を用いた、Lovász Local Lemma の強化版を用いる。
• 彩色制約に対する不利な事象をモデル化：隣接頂点が同じ色を割り当てられること、および $\beta+1$ 個の頂点が近傍で同じ色を持つこと。
• 共有頂点によって誘導されるクリークを含む、辺および近傍集合上の依存性グラフ $H$ を定義し、依存性を制限する。
• 辺および $\beta$-近傍事象に重み変数 $\mu_1$、$\mu_2$ を割り当て、$\alpha = \Delta\mu_1$ で最適化することで、必要な色数を最小化する。
• 関数 $k_1(\beta)$ および $k_2(\beta)$ の最適化により上界を導出し、これらは $\beta$ に関して減少関数であり、よりタイトな漸近的スケーリングを保証する。
• Shearer の定理および独立集合多項式の非消滅条件を用いて、確率的枠組み内でのLovász Local Lemma 条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大次数 $\Delta$ および周長 $g$ を持つグラフについて、非巡回辺彩色数 $a'(G)$ の最もタイトな可能な上界は何か？
• RQ2 改善された $a'(G)$ の上界は周長にどのように依存するか？また、$a'(G) \leq \Delta + 2$ を達成するための周長の閾値は何か？
• RQ3 特に $\beta$ が大きい場合に、$\beta$-フラグル彩色数 $\chi^\beta(G)$ を以前の結果よりもよりタイトに上界で抑えられるか？
• RQ4 非巡回頂点彩色数 $a(G)$ およびスターチャーミング数 $\chi_s(G)$ の、$\Delta$ に関する最も良い達成可能な上界は何か？
• RQ5 先進的な確率的技法、特に強化されたLovász Local Lemma を用いて、既知の彩色上界における定数を最適化できるか？

主な発見

• 非巡回辺彩色数は、任意の $\Delta \geq 3$ に対して $a'(G) \leq \lceil 9.62(\Delta - 1) \rceil$ を満たし、以前の結果を改善する。
• 周長 $g \geq 5$ の場合、$a'(G) \leq \lceil 6.42(\Delta - 1) \rceil$；$g \geq 7$ の場合、$a'(G) \leq \lceil 5.77(\Delta - 1) \rceil$；$g \geq 53$ の場合、$a'(G) \leq \lceil 4.52(\Delta - 1) \rceil$ が成り立つ。
• 周長が $g \geq \lceil 25.84\Delta\log\Delta(1 + 4.1/\log\Delta) \rceil$ を満たす場合、$a'(G) \leq \Delta + 2$ が成り立ち、十分に大きな周長に対してはその予想が裏付けられる。
• 非巡回頂点彩色数は $a(G) \leq \lceil 6.59\Delta^{4/3} + 3.3\Delta \rceil$ で抑えられ、以前の $50\Delta^{4/3}$ の上界を改善する。
• スターチャーミング数は $\chi_s(G) \leq \lceil 4.34\Delta^{3/2} + 1.5\Delta \rceil$ を満たし、以前の $20\Delta^{3/2}$ の上界を改善する。
• $\beta$-フラグル彩色数は $\chi^\beta(G) \leq \lceil \max\{k_1(\beta)\Delta,\, k_2(\beta)\Delta^{1+1/\beta}/(\beta!)^{1/\beta}\} \rceil$ で抑えられ、$k_1(\beta) \in [4,6]$ および $k_2(\beta) \in [2,5]$ は $\beta$ に関して減少関数であり、よりタイトな漸近的スケーリングをもたらす。