[論文レビュー] Improved Bounds on Fourier Entropy and Min-Entropy

Srinivasan Arunachalam, Sourav Chakraborty+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 74被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、フーリエ自己相関と証明複雑度の間のより緊密な境界を示し、Fourier エントロピーと証明複雑度の関係を進展させている。具体的には、H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓) および H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓) を証明した。また、読み-𝑘DNF におけるフーリエ最小エントロピー-インフルエンス（FMEI）予想を検証し、スパarsity 2𝜔(𝑑) の平坦ブロック多重線形多項式が、1/3-近似でブール関数を近似できないことを示し、FEI 予想下での多項式近似の構造的洞察を提供した。

ABSTRACT

Given a Boolean function $f:\{-1,1\}^n o \{-1,1\}$, the Fourier distribution assigns probability $\widehat{f}(S)^2$ to $S\subseteq [n]$. The Fourier Entropy-Influence (FEI) conjecture of Friedgut and Kalai asks if there exist a universal constant C>0 such that $H(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H(\hat{f}^2)$ is the Shannon entropy of the Fourier distribution of $f$ and $Inf(f)$ is the total influence of $f$. 1) We consider the weaker Fourier Min-entropy-Influence (FMEI) conjecture. This asks if $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq C Inf(f)$, where $H_{\infty}(\hat{f}^2)$ is the min-entropy of the Fourier distribution. We show $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2C_{\min}^\oplus(f)$, where $C_{\min}^\oplus(f)$ is the minimum parity certificate complexity of $f$. We also show that for every $ε\geq 0$, we have $H_{\infty}(\hat{f}^2)\leq 2\log (\|\hat{f}\|_{1,ε}/(1-ε))$, where $\|\hat{f}\|_{1,ε}$ is the approximate spectral norm of $f$. As a corollary, we verify the FMEI conjecture for the class of read-$k$ $DNF$s (for constant $k$). 2) We show that $H(\hat{f}^2)\leq 2 aUC^\oplus(f)$, where $aUC^\oplus(f)$ is the average unambiguous parity certificate complexity of $f$. This improves upon Chakraborty et al. An important consequence of the FEI conjecture is the long-standing Mansour's conjecture. We show that a weaker version of FEI already implies Mansour's conjecture: is $H(\hat{f}^2)\leq C \min\{C^0(f),C^1(f)\}$?, where $C^0(f), C^1(f)$ are the 0- and 1-certificate complexities of $f$, respectively. 3) We study what FEI implies about the structure of polynomials that 1/3-approximate a Boolean function. We pose a conjecture (which is implied by FEI): no "flat" degree-$d$ polynomial of sparsity $2^{ω(d)}$ can 1/3-approximate a Boolean function. We prove this conjecture unconditionally for a particular class of polynomials.

研究の動機と目的

• 未明瞭証明複雑度を用いたフーリエ エントロピーの上界を改善し、FEI 予想を前進させること。
• 最小パリティ証明複雑度と近似スペクトルノルムを用いた、フーリエ最小エントロピーの新しい境界を確立すること。
• FEI 予想下で、ブール関数を 1/3-近似する多項式の構造的制約を調査すること。
• 定数 𝑘 に対する読み-𝑘DNF のクラスにおいて、FMEI 予想を検証すること。
• 平坦多項式予想を通じて、FEI 予想とボーデンブリュースト＝ハイレ不等式との関係を探索すること。

提案手法

• フーリエ エントロピーの上界を求めるための代理指標として、平均未明瞭パリティ証明複雑度 aUC⊕(𝑓) を導入し、H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓) を示した。
• 最小パリティ証明複雑度 C⊕min(𝑓) を定義し、最小エントロピーに対して H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓) を証明した。
• 近似スペクトルノルム ∥𝑓̂∥1,𝜀 を用いて、すべての 𝜀 ≥ 0 に対して H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀)) を導出した。
• これらの境界を、有界な証明複雑度を持つ読み-𝑘DNF の性質を活用して、FMEI 予想を読み-𝑘DNF に対して検証した。
• 次数 𝑑 でスパarsity 2𝜔(𝑑) の平坦ブロック多重線形多項式が、ブール関数を 1/3-近似できないという予想を提示した。
• その予想を、特定の多項式クラスに対して条件なしで証明し、Bohnenblust-Hille 定数と関連づけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フーリエ エントロピーは平均未明瞭証明複雑度によって上界で抑えられるか？ また、これは FEI 予想とどのように関係するか？
• RQ2 すべてのブール関数に対して、フーリエ最小エントロピーが H∞(𝑓̂²) ≤ 𝐶·Inf(𝑓) を満たすか？ そして、読み-𝑘DNF に対しては検証可能か？
• RQ3 FEI 予想を用いて、特定のクラスの平坦多項式がブール関数を近似できないことを排除できるか？
• RQ4 Mansour の予想を解消するための普遍定数 𝜆 が存在し、H(𝑓̂²) ≤ 𝜆·min{C1(𝑓), C0(𝑓)} を満たすか？
• RQ5 平坦多項式近似とボーデンブリュースト＝ハイレ不等式との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 本論文は、H(𝑓̂²) ≤ 2·aUC⊕(𝑓) を証明し、以前の境界を改善するとともに、FEI を未明瞭証明複雑度と結びつけた。
• H∞(𝑓̂²) ≤ 2·C⊕min(𝑓) を確立し、最小パリティ証明複雑度を用いたタイトな最小エントロピー境界を提供した。
• 読み-𝑘DNF に対して FMEI 予想を検証し、新規に導入した最小エントロピー境界を活用した。
• H∞(𝑓̂²) ≤ 2 log(∥𝑓̂∥1,𝜀/(1−𝜀)) という新しい境界を導出し、最小エントロピーと近似スペクトルノルムを結びつけた。
• 平坦ブロック多重線形多項式が次数 𝑑 でスパarsity 2𝜔(𝑑) である場合、いかなるブール関数に対しても 1/3-近似が不可能であることを、条件なしで証明した。
• 平坦多項式予想とボーデンブリュースト＝ハイレ不等式との間には、興味深い関係が存在することが示され、より深い関数解析的関連性が示唆された。