[論文レビュー] Improved complexity bounds for real root isolation using Continued Fractions

Elias Tsigaridas|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、連分数を用いた1変数多項式の正の実根の下界を計算するための新規手法を提示する。これは、実根隔離の古典的連分数（CF）アルゴリズムの最悪ケース計算量を顕著に改善する。著者らは、効率的な根の下界計算手法を導入し、計算量を $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^{6}+d^{4}\tau^{2})}$ にまで低減した。これはシャーマの先行研究の境界を $d^3$ 倍改善し、分割に基づくソルバーの最良既知の境界と一致する。

ABSTRACT

We consider the problem of isolating the real roots of a square-free polynomial with integer coefficients using (variants of) the continued fraction algorithm (CF). We introduce a novel way to compute a lower bound on the positive real roots of univariate polynomials. This allows us to derive a worst case bound of $\sOB(d^6 + d^4τ^2 + d^3τ^2)$ for isolating the real roots of a polynomial with integer coefficients using the classic variant \cite{Akritas:implementation} of CF, where $d$ is the degree of the polynomial and $τ$ the maximum bitsize of its coefficients. This improves the previous bound of Sharma \cite{sharma-tcs-2008} by a factor of $d^3$ and matches the bound derived by Mehlhorn and Ray \cite{mr-jsc-2009} for another variant of CF; it also matches the worst case bound of the subdivision-based solvers.

研究の動機と目的

• 整数係数をもつ平方因子なし多項式の実根を隔離するための古典的連分数（CF）アルゴリズムの最悪ケース計算量境界を改善すること。
• 従来のCF変種が正の実根の下界に不適切な下界に依存していた非効率性を是正すること。
• 分割に基づくソルバーの最先端の計算量（$\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^6 + d^4\tau^2)$）と同等の計算量を連分数に基づくアプローチで達成すること。
• 最小の正の実根の床を計算するための新規手法を導入し、よりきめ細かい計算量解析を可能にすること。

提案手法

• 多項式の最小の正の実根の床を特定することにより、正の実根に対する下界を計算するための新規技術を提案する。
• この下界を用いて、ビンセントの手法における繰り返しの $x \mapsto x+1$ 変換を、$c$ を計算された下界とする $x \mapsto x + c$ ステップに置き換える。
• 各段階における連分数展開の過程で、計算された境界を用いてテイラー移動を効率的に適用する。
• 部分商の対数的サイズおよび商の積を抑えられるように、補題5および6を用いる。これにより、正確な計算量解析が可能になる。
• 各根の隔離にわたる合計計算量を、$\lg(q_0^\gamma)$、$\lg(\Delta_\gamma)$、および1根あたりのステップ数の境界を用いて合算することで導出する。
• 正しく動作し、収束することを保証するため、デカルトの符号法則およびビンセントの定理に関する既存の結果を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実根隔離のための古典的連分数アルゴリズムの最悪ケース計算量を、先行の境界 $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^8\tau^3)$ を超えて改善できるか。
• RQ2 正の実根の下界をよりきめ細かくすることで、部分商の数および全体の計算量にどのような影響を与えるか。
• RQ3 CFに基づくアルゴリズムが、最良の分割ベースのソルバーと同等の計算量を達成できるか。
• RQ4 最小の正の実根の床を、CFアルゴリズム全体の計算量を改善できるほど効率的に計算できるか。

主な発見

• 提案手法により、実根隔離のための古典的連分数アルゴリズムの最悪ケース計算量が $\widetilde{\mathcal{O}}_{B}(d^6 + d^4\tau^2)$ にまで低減された。
• この計算量の改善は、シャーマ [30] が確立した先行境界を $d^3$ 倍改善するものである。
• 新しい計算量は、スターミュール、デカルト、ベルヌーイ法などの分割ベースのソルバーの最良既知の最悪ケース境界と一致する。
• 主な革新点は、最小の正の実根の床を計算する新規技術であり、これにより部分商の成長に対するきめ細かな制御が可能になった。
• 解析により、合計コストは $\lg(q_k^\gamma)$ 項およびその積の和に支配され、これらは新しい根の下界手法により有界であることが示された。
• $\Delta_\gamma \geq 1$ を満たす根は、部分商を計算せずに隔離可能であり、無駄な計算が削減される。