[論文レビュー] Improved constructions of quantum automata

Andris Ambainis, Nikolajs Nahimovs|ArXiv.org|May 12, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、古典的有限オートマトンに対して指数的空間優位性を達成する、簡素化されより効率的な量子有限オートマトン（QFA）の構築を提示する。複数の小さな量子オートマトンをランダムパラメータで組み合わせることで、言語 $L_p = \{a^i \mid i \text{ divisible by } p\}$ を、$\frac{4}{\epsilon}\log 2p + O(1)$ 状態で認識する。これは、先行研究に比べて定数因子を著しく改善しつつ、非属件についても高い正確性を維持する。

ABSTRACT

We present a simple construction of quantum automata which achieve an exponential advantage over classical finite automata. Our automata use \frac{4}ε \log 2p + O(1) states to recognize a language that requires p states classically. The construction is both substantially simpler and achieves a better constant in the front of \log p than the previously known construction of Ambainis and Freivalds (quant-ph/9802062). Similarly to Ambainis and Freivalds, our construction is by a probabilistic argument. We consider the possibility to derandomize it and present some results in this direction.

研究の動機と目的

• 古典的有限オートマトンに対して指数的空間優位性を達成する、より簡素で効率的な量子有限オートマトン（QFA）の開発。
• アーバインスとフレイバルズ（AF）の先行構築に比べ、$O(\log p)$ 状態複雑性における定数因子の低減。
• 正しさと効率性を維持したまま、確率的構築のデランドマイゼーションの検討。
• 同一言語に対して、$O(\log^{2+\epsilon}p)$ 状態を有する、証明可能に正しい非確率的QFA構築の提供。

提案手法

• 各入力記号 $a$ に対して、角度 $\frac{2\pi k}{p}$ の回転を適用する2状態の基本QFA $U_k$ を、ユニタリ変換を用いて構築する。
• ランダムに選ばれた $k_i \in \{1,\dots,p-1\}$ を持つ $d = \frac{4}{\epsilon}\log 2p$ 個のこのようなオートマトンを並列に結合し、合成QFAを形成する。
• 左端マーカーを用いて、$d$ 個の初期状態 $|q_{i,0}\rangle$ における一様重ね合わせ状態にシステムを初期化し、成分間の干渉を可能にする。
• 右端マーカーを適用して、重ね合わせを最初の成分 $|q_{1,0}\rangle$ に収束させ、これが唯一の受容状態となるようにする。
• 量子干渉を活用：$p$ の倍数でない入力に対する受容確率は、$\frac{2\pi k_i j}{p}$ の余弦の二乗和に依存し、ランダムな $k_i$ に対してその値は高確率で0に近づく。
• 2通りのデランドマイズ構築を提示：1つは $O(\log p)$ 状態で数値的妥当性を確認し、もう1つは $O(\log^{2+\epsilon}p)$ 状態で証明可能に正しい。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_p$ 言語に対して、古典的オートマトンに比べ指数的空間優位性を達成する、より簡素で効率的な量子有限オートマトンを構築可能か？
• RQ2 高成功率確率を達成するQFAが $L_p$ を認識する際、$\log p$ の前における最小定数因子は何か？
• RQ3 正しさとほぼ最適な状態複雑性を維持したまま、確率的構築をデランドマイズ可能か？
• RQ4 $O(\log^{2+\epsilon}p)$ 状態を有する、証明可能に正しい非確率的QFAを $L_p$ に対して構築可能か？

主な発見

• 提案されたQFAは、$\frac{4}{\epsilon}\log 2p + O(1)$ 状態を用いて $L_p = \{a^i \mid i \text{ divisible by } p\}$ を認識し、先行の $16\log p$ の構築に比べてより良い定数因子を達成する。
• 非属件の入力に対して、受容確率は $\frac{1}{d^2}\left(\sum_{i=1}^d \cos\left(\frac{2\pi k_i j}{p}\right)\right)^2$ で抑えられ、ランダムな位相キャンセルにより高確率で小さくなる。
• アーバインスとフレイバルズの確率的手法に比べ、著しく簡素で、分析が明快で、複雑性も低減されている。
• $O(\log p)$ 状態を有するデランドマイズ構築が提案されたが、その正しさは主に数値的証拠に依存する。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、$O(\log^{2+\epsilon}p)$ 状態を有する、証明可能に正しいデランドマイズ構築が存在し、状態数と決定性のトレードオフを提供する。
• 本稿は、量子オートマトンが古典的オートマトンに比べ指数的空間優位性を達成できることを確認し、新しい構築が効率性と簡素性の両方を向上させた。