[論文レビュー] Improved Decision Rule Approximations for Multi-Stage Robust Optimization via Copositive Programming

Guanglin Xu, Grani A. Hanasusanto|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2018

Advanced Optimization Algorithms Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、共正性プログラミングを用いて、不確実な目的係数、後続行列、右辺項を伴う多段階ロバスト最適化問題に対して、よりタイトで取り扱いやすい意思決定ルールの近似を提案する。区分的線形意思決定ルールと半定値プログラミングの緩和を活用することで、最先端の手法と比較して優れた最適性バインディングを達成しつつ、計算スケーラビリティを維持する。

ABSTRACT

We study decision rule approximations for generic multi-stage robust linear optimization problems. We consider linear decision rules for the case when the objective coefficients, the recourse matrices, and the right-hand sides are uncertain, and consider quadratic decision rules for the case when only the right-hand sides are uncertain. The resulting optimization problems are NP-hard but amenable to copositive programming reformulations that give rise to tight conservative approximations. We further enhance these approximations through new piecewise decision rule schemes. Finally, we prove that our proposed approximations are tighter than the state-of-the-art schemes and demonstrate their superiority through numerical experiments.

研究の動機と目的

• 一般の不確実性構造下における多段階ロバスト最適化（MSRO）の計算不能性に対処すること。
• 後続が固定でない場合のMSROに対するよりタイトな保守的近似を構築することにより、従来の線形意思決定ルールの限界を克服すること。
• 既存の手法と比較してよりタイトな境界が保証される区分的線形意思決定ルールを用いて近似の品質を向上させること。
• 共正性プログラミングの半定値プログラミングへの再定式化を通じて、取り扱いやすい解決フレームワークを提供すること。

提案手法

• 構造的簡略化を図るため、特に最初の座標軸に注目して、区分的線形リフトを用いて拡張された不確実パラメータ空間を定式化する。
• リフトされた不確実パラメータに線形意思決定ルールを適用し、問題を半無限大線形計画問題に変換する。
• 最悪ケースサブプロブレムを、リフトされた錐集合上での完全正の行列の錐を用いて完全正の計画問題に再定式化する。
• 完全正の錐を有効で半定値表現可能な外部近似に置き換えることで、取り扱いやすい半定値緩和を導出する。
• 錐双対性と標準的な緩和技術を用いて、最悪ケース最大化問題の有限かつ解ける再定式化を取得する。
• アプローチを複数の座標軸に一般化し、より広範なMSRO定式化への適用可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分的線形意思決定ルールを、線形ルールを上回る解の品質を得るために、多段階ロバスト最適化に体系的に統合できるか？
• RQ2 非固定後続性を伴うMSROに対して、共正性プログラミングを活用してよりタイトな保守的近似を導出できるか？
• RQ3 本手法の近似の相対的なタイトさは、切り捨て型または分離型線形意思決定ルールといった既存の手法と比較してどうか？
• RQ4 得られる最適化問題は、解の品質を損なわずに取り扱いやすい半定値計画問題に再定式化可能か？
• RQ5 不確実性集合のリフトが、意思決定ルール近似の品質に与える影響は何か？

主な発見

• 提案された区分的線形意思決定ルールスキームは、最先端の手法（切り捨て型・分離型線形ルールを含む）よりもタイトな近似を達成する。
• 最悪ケースサブプロブレムの共正性プログラミング再定式化により、明示的な境界改善が実現される。
• 得られる半定値緩和は、最悪ケース目的関数の有効な上界を提供し、錐双対性による有限かつ取り扱いやすい再定式化が可能である。
• 完全正の錐の外部近似により、多項式的意思決定ルール階層よりも計算効率が良く、スケーラビリティに優れた解決アプローチが得られる。
• 数値実験により、最適性ギャップと計算効率の両面で本手法の優位性が示された。
• 本手法は、目的係数、後続行列、右辺項における不確実性を伴う問題へ一般化可能であり、固定後続設定に限定されない。