[論文レビュー] Improved Deterministic Distributed Construction of Spanners

Ofer Grossman, Merav Parter|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、${\mathsf{CONGEST}}$ モデルにおいて、$O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ ラウンド（偶数 $k$ の場合）および $O(2^k \cdot n^{1/2-1/(2k)})$ ラウンド（奇数 $k$ の場合）で $(2k-1)$-スパンナを構築する決定的分散アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、$O(\log n)$ サイズのメッセージのみを用いる。超クラスタリングと非対称な二部グラフに対するスパーススパンナの導入により、$O(k \cdot n^{1+1/k})$ の最適なエッジ数を達成する。

ABSTRACT

Graph spanners are fundamental graph structures with a wide range of applications in distributed networks. We consider a standard synchronous message passing model where in each round $O(\log n)$ bits can be transmitted over every edge (the CONGEST model). The state of the art of deterministic distributed spanner constructions suffers from large messages. The only exception is the work of Derbel et al. '10, which computes an optimal-sized $(2k-1)$-spanner but uses $O(n^{1-1/k})$ rounds. In this paper, we significantly improve this bound. We present a deterministic distributed algorithm that given an unweighted $n$-vertex graph $G = (V, E)$ and a parameter $k > 2$, constructs a $(2k-1)$-spanner with $O(k \cdot n^{1+1/k})$ edges within $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/k})$ rounds for every even $k$. For odd $k$, the number of rounds is $O(2^{k} \cdot n^{1/2 - 1/(2k)})$. For the weighted case, we provide the first deterministic construction of a $3$-spanner with $O(n^{3/2})$ edges that uses $O(\log n)$-size messages and $\widetilde{O}(1)$ rounds. If the nodes have IDs in $[1, Θ(n)]$, then the algorithm works in only $2$ rounds!

研究の動機と目的

• ${\mathsf{CONGEST}}$ モデルにおいて、小さなメッセージサイズで、スパーススパンナを決定的に構築するという長年の課題に取り組むこと。
• 乱択と決定的スパンナ構築の間のギャップを埋め、大きなメッセージに依存せずに近似的に最適なラウンド複雑性を達成すること。
• $O(n^{3/2})$ エッジを持つ $3$-スパンナを、$O(\log n)$ サイズのメッセージと $\widetilde{O}(1)$ ラウンドで初めて決定的に構築すること。
• 特に大きな $k$ の場合に、先行研究を上回る決定的 $(2k-1)$-スパンナ構築のラウンド複雑性を改善すること。
• ノードIDが $[1, \Theta(n)]$ の範囲にある場合、定数直径のグラフにおいて、$O(1)$ ラウンドで効率的な決定的スパンナ構築を可能にすること。

提案手法

• Baswana-Senのクラスタをスーパクラスタにグループ化する新しいスーパyclustering技術を導入し、通信のオーバーヘッドを低減する。
• スパンナ構築中のエッジ追加を制限するために、非対称な二部グラフに対するスパーススパンナ構成をキースブールーチンとして用いる。
• 各フェーズでクラスタ数を $\sqrt{n}$ 倍に減少させる再帰的クラスタリング戦略を適用し、並列処理を効率化する。
• 初期の $0$-レベルスーパyclustering を、深さが有界でエッジに交差しない成分を持つ部分グラフを用いて、$O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ ラウンドで構築する。
• 低拡散性スーパyclusteringではスパンナ構築を、高拡散性のものではBFSツリーを適用することで、ストレッチの保証を維持する。
• 各頂点が残存する各クラスタ内の1つの隣接頂点にエッジを追加する終了フェーズを用い、$O(1)$ ラウンドでスパンナを完成させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\mathsf{CONGEST}}$ モデルにおいて、$O(\log n)$ サイズのメッセージと近似的に最適なラウンド複雑性を備えた決定的 $(2k-1)$-スパンナを構築できるか？
• RQ2 メッセージサイズを小さく保ちつつ、ラウンド複雑性を非線形に保ち、$(2k-1)$-スパンナに対して最適なサイズ $O(k \cdot n^{1+1/k})$ を達成できるか？
• RQ3 $O(n^{3/2})$ エッジを持つ決定的 $3$-スパンナを、$\widetilde{O}(1)$ ラウンドで $O\left(\log n\right)$ サイズのメッセージのみを用いて構築できるか？
• RQ4 大きなメッセージに依存せずに、決定的分散環境でBaswana-Senアルゴリズムを効率的にシミュレートできるか？
• RQ5 小さなメッセージサイズで、定数直径のグラフにおけるスパンナの決定的構築の最小ラウンド複雑性は何か？

主な発見

• アルゴリズムは、偶数 $k$ の場合、$O(2^k \cdot n^{1/2-1/k})$ ラウンドで $O(k \cdot n^{1+1/k})$ エッジを持つ $(2k-1)$-スパンナを構築する。
• 奇数 $k$ の場合、ラウンド複雑性は $O(2^k \cdot n^{1/2-1/(2k)})$ であり、これは決定的設定において奇数 $k$ に対して初めてのバウンディングである。
• $O(n^{3/2})$ エッジを持つ $3$-スパンナの決定的構築が、$\widetilde{O}(1)$ ラウンドで $O(\log n)$ サイズのメッセージを用いて達成された。
• ノードIDが $[1, \Theta(n)]$ の範囲にある場合、アルゴリズムは $2$ ラウンドで $3$-スパンナを構築する。
• 最適なストレッチとサイズのトレードオフを維持しながら、小さなメッセージサイズを保ち、決定的分散スパンナ構築における長年のオープンな問題を解決した。
• 一般のグラフ（直径 ${\rm diam}(G)$）に対しても、ラウンド複雑性がわずかに増加するだけで、同じ漸近的バウンディングを維持するように拡張可能である。