[論文レビュー] Improved Deterministic Distributed Matching via Rounding

Manuela Fischer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、線形計画法のための新しい決定的分散ラウンディング手法を提示し、分散ネットワークにおけるマッチング問題のためのより高速で効率的なアルゴリズムを可能にする。最大マッチングのための最初の O(log²∆·log n)-ラウンド決定的最大マッチングアルゴリズムを達成し、ローカル計算アルゴリズム（LCA）のクエリ複雑性を指数的に改善するとともに、分散環境下での最大マッチングおよび重み付き b-マッチング問題の (2+ε)-近似アルゴリズムをより高速に実行する。

ABSTRACT

We present improved deterministic distributed algorithms for a number of well-studied matching problems, which are simpler, faster, more accurate, and/or more general than their known counterparts. The common denominator of these results is a deterministic distributed rounding method for certain linear programs, which is the first such rounding method, to our knowledge. A sampling of our end results is as follows. - An O(log^2 Delta log n)-round deterministic distributed algorithm for computing a maximal matching, in n-node graphs with maximum degree Delta. This is the first improvement in about 20 years over the celebrated O(log^4 n)-round algorithm of Hanckowiak, Karonski, and Panconesi [SODA'98, PODC'99]. - A deterministic distributed algorithm for computing a (2+epsilon)-approximation of maximum matching in O(log^2 Delta log(1/epsilon) + log^* n) rounds. This is exponentially faster than the classic O(Delta + log^* n)-round 2-approximation of Panconesi and Rizzi [DIST'01]. With some modifications, the algorithm can also find an epsilon-maximal matching which leaves only an epsilon-fraction of the edges on unmatched nodes. - An O(log^2 Delta log(1/epsilon) + log^* n)-round deterministic distributed algorithm for computing a (2+epsilon)-approximation of a maximum weighted matching, and also for the more general problem of maximum weighted b-matching. These improve over the O(log^4 n log_(1+epsilon) W)-round (6+epsilon)-approximation algorithm of Panconesi and Sozio [DIST'10], where W denotes the maximum normalized weight. - A deterministic local computation algorithm for a (2+epsilon)-approximation of maximum matching with 2^O(log^2 Delta) log^* n queries. This improves almost exponentially over the previous deterministic constant approximations which have query-complexity of 2^Omega(Delta log Delta) log^* n.

研究の動機と目的

• 特定の線形計画法の分数解のための決定的分散ラウンディング手法の開発。
• 最大マッチングおよび関連問題の決定的分散アルゴリズムのラウンド複雑性の改善。
• 分散環境下での最大マッチングおよび重み付き b-マッチング問題の (2+ε)-近似アルゴリズムを著しく高速化すること。
• 最大マッチングのための決定的 LCA のクエリ複雑性の低減。
• 基本的グラフ問題における確率的アルゴリズムと決定的アルゴリズムのギャップを埋めること。

提案手法

• マッチング問題に関連する線形計画法における分数マッチングのための新しい決定的分散ラウンディング技術の導入。
• 反復的ラウンディングの適用：繰り返し近似 b-マッチングを計算し、マッチング済みの辺と容量ゼロの頂点を削除。
• グラフの 2-分解を用いて次数を低減し、O(1) ラウンドで効率的なローカル計算を可能に。
• 一般のグラフおよび b-マッチングを処理するため、ノード分割による二部グラフへの還元を実施。
• 各反復で補助的な重み付きグラフに対する定数近似アルゴリズムを活用し、(2+ε)-近似解を構築。
• 標準的なシミュレーション技術を用いて、LCA に本手法を適応させ、クエリ複雑性を改善。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マッチング問題に関連する特定の線形計画法の分数解のための決定的分散ラウンディング手法を開発可能か？
• RQ2 LOCAL モデルにおける決定的最大マッチングの最良ラウンド複雑性は何か？
• RQ3 (2+ε)-近似アルゴリズムを最大マッチングに対して、O(∆+log*n) ラウンドよりも著しく高速に計算可能か？
• RQ4 決定的 LCA の最大マッチングのクエリ複雑性をどのように低減できるか？
• RQ5 同じラウンディングフレームワークを重み付きおよび b-マッチング問題に拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、特定の線形計画法クラスのための最初の決定的分散ラウンディング手法を提示し、新たなアルゴリズム的進展を可能にする。
• 最大マッチングのための O(log²∆·log n)-ラウンド決定的アルゴリズムを達成し、20年前の O(log⁴n) の境界を改善する。
• 最大マッチングの (2+ε)-近似は O(log²∆·log(1/ε)+log*n) ラウンドで実行され、従来の O(∆+log*n) 法よりも指数的に高速である。
• 最大重み付き b-マッチングのためのアルゴリズムは O(log²∆·log(1/ε)+log*n) ラウンドで実行され、従来の O(log⁴n·log¹⁺εW) の境界を改善する。
• (2+ε)-近似最大マッチングの LCA は、クエリ複雑性が 2^O(log²∆)·log*n であり、従来の 2^Ω(∆·log∆)·log*n の境界に対して指数的に改善されている。
• 本手法は、ε-最大マッチングを介してエッジ支配集合に対しても (2+ε)-近似を提供し、エッジカバレッジにわずかな加法的誤差を伴う。