[論文レビュー] Improved estimator for numerical renormalization group calculations of the self-energy

Fabian B. Kugler|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2022

Quantum and electron transport phenomena参考文献 46被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、数値的正則化群（NRG）計算における自己エネルギー推定器を新たに提案する。この手法は、2つの運動方程式を統合することで、レッテル自己エネルギーの虚数部に生じるアーティファクトを排除する。本手法は高周波数正規化を正確に満たし、低エネルギー領域での物理的に不自然なオーバーシュートやウィgglesを抑制し、保持状態数を減らしても収束するため、多軌道DMFT計算における精度と効率を著しく向上させる。

ABSTRACT

We present a new estimator for the self-energy based on a combination of two equations of motion and discuss its benefits for numerical renormalization group (NRG) calculations. In challenging regimes, NRG results from the standard estimator, a ratio of two correlators, often suffer from artifacts: the imaginary part of the retarded self-energy is not properly normalized and, at low energies, overshoots to unphysical values and displays wiggles. We show that the new estimator resolves the artifacts in these properties as they can be determined directly from the imaginary parts of auxiliary correlators and do not involve real parts obtained by Kramers-Kronig transform. Furthermore, we find that the new estimator yields converged results with reduced numerical effort (for a lower number of kept states) and thus is highly valuable when applying NRG to multiorbital systems. Our analysis is targeted at NRG treatments of quantum impurity models, especially those arising within dynamical mean-field theory, but most results can be straightforwardly generalized to other impurity or cluster solvers.

研究の動機と目的

• NRG自己エネルギー計算における持続的なアーティファクト、特にレッテル自己エネルギーの虚数部に現れる物理的に不自然なオーバーシュートやウィgglesを解消する。
• 標準的なNRG実装で破綻しうる、自己エネルギーの実部の高周波数漸近挙動における正規化問題を解決する。
• NRG計算における保持状態数を減らしても収束するよう自己エネルギー計算の数値的コストを低減する。
• 特にDMFTおよび多軌道系において、自己エネルギー推定のための堅牢で汎用性のあるフレームワークを提供する。
• 強い電子相関を持つ物質や格子模型におけるNRGの信頼性と効率を向上させる。

提案手法

• 1次および2次運動方程式の組み合わせを用いた新しい自己エネルギー推定器を提案し、実部のKramers–Kronig変換に依存しない。
• 補助相関関数（G, F, I）の3つを含む式を導出し、直接的に自己エネルギーの虚数部を補助相関関数から決定する。
• fdm NRGにおけるスペクトル重み保存則を用いて、ReΣの高周波数漸近挙動を構成上正確に満たす。
• 実部をKramers–Kronig変換で得るのではなく、補助相関関数FおよびIの虚数部を直接用いることで、数値的不正確さに起因する問題を回避する。
• 特に行列値の場合においても対称性と数値的安定性を保つように推定器を実装する。
• 単軌道アンダーソン模型およびDMFTにおける1軌道、2軌道、3軌道 Hubbard模型を対象に、複数のモデルで手法を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なNRG計算で観察されるImΣνにおける物理的に不自然なオーバーシュートやウィgglesを回避できる新しい自己エネルギー推定器を導出可能か？
• RQ2 本推定器は、挑戦的な多軌道領域においてもReΣの高周波数漸近挙動の正確な正規化を保証するか？
• RQ3 本手法は、標準推定器と比較して、保持状態数を減らしても自己エネルギーの収束結果を得られるか？
• RQ4 本推定器は、粒子・ホール対称性および強い相関領域、特に低エネルギー領域でどのように性能を発揮するか？
• RQ5 本推定器は、多軌道系における行列値相関関数にどの程度一般化可能か？

主な発見

• 新しい推定器ΣIFGは、標準NRG推定器ΣFGで観察された低エネルギー領域におけるImΣνの物理的に不自然なオーバーシュートを完全に排除する。
• 自己エネルギーの虚数部−ImΣIFGνは、原点に正確に頂点を持つ滑らかで非負の放物線的形状を示し、因果律およびフェルミ液体理論と整合する。
• 同一の精度水準で、新しい推定器は著しく少ない保持状態数で収束する——例えば、ImΣIFGνの収束にはNkp = 500で十分であるが、ΣFGでは収束に近づくまでにNkp = 2000が必要であった。
• 高周波数漸近挙動のReΣは、本推定器によって正確に保持されるが、標準的手法ではこの解析的制約を破ることがある。
• ImΣIFG(0)の値はΣFGと比較して数個のオーダー改善され、粒子・ホール対称性のある場合に正確な値0に近づく。
• 本手法により、Nkpを低く保ったまま高精度な結果が得られるため、多軌道DMFT応用において極めて効率的である。