[論文レビュー] Improved hardness for H-colourings of G-colourable graphs

Marcin Wrochna, Stanislav Živný|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|Jul 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、k-彩色可能なグラフを $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 色で近似的に彩色することが、すべての $k \geq 4$ に対してNP困難であることを示すことにより、G-彩色可能なグラフの近似H-彩色に関する新しいNP困難性結果を確立した。これは、従来の指数的・線形的ギャップを著しく改善する。さらに、Hのボックス複体の位相的構造そのものが、G-彩色可能なグラフのH-彩色がNP困難であるかどうかを決定することを証明した。アドジョイント関手と基本群の議論を用いて、既存の結果を統一的かつ拡張的に扱った。

ABSTRACT

We present new results on approximate colourings of graphs and, more generally, approximate H-colourings and promise constraint satisfaction problems. First, we show NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $\binom{k}{\lfloor k/2 floor}-1$ colours for every $k\geq 4$. This improves the result of Bulín, Krokhin, and Opršal [STOC'19], who gave NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $2k-1$ colours for $k\geq 3$, and the result of Huang [APPROX-RANDOM'13], who gave NP-hardness of colouring $k$-colourable graphs with $2^{k^{1/3}}$ colours for sufficiently large $k$. Thus, for $k\geq 4$, we improve from known linear/sub-exponential gaps to exponential gaps. Second, we show that the topology of the box complex of H alone determines whether H-colouring of G-colourable graphs is NP-hard for all (non-bipartite, H-colourable) G. This formalises the topological intuition behind the result of Krokhin and Opršal [FOCS'19] that 3-colouring of G-colourable graphs is NP-hard for all (3-colourable, non-bipartite) G. We use this technique to establish NP-hardness of H-colouring of G-colourable graphs for H that include but go beyond $K_3$, including square-free graphs and circular cliques (leaving $K_4$ and larger cliques open). Underlying all of our proofs is a very general observation that adjoint functors give reductions between promise constraint satisfaction problems.

研究の動機と目的

• 近似グラフ彩色における既知の多項式時間アルゴリズムとNP困難性の間のギャップを埋めるために、より強い非可解性結果を証明すること。
• H-彩色のG-彩色可能なグラフにおけるNP困難性を、Hの位相的性質に基づいて特徴付けること。
• 3-彩色のG-彩色可能なグラフにおけるNP困難性を、平方自由グラフや円形クライQUEを含むより広いHのクラスに一般化すること。
• アドジョイント関手と基本群の準同型を用いた一般枠組みを確立し、PCSP間の還元を導出すること。
• 非二部グラフHに対するH-彩色問題の複雑さを決定づけるボックス複体の位相の役割を明確にすること。

提案手法

• アドジョイント関手を活用して、PCSP間の還元を構築し、異なるPCSPインスタンス間での困難性の伝達を可能にした。
• $|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ の基本群を用いて、$\mathbb{Z}_2$-写像 $\mathcal{S}^1$ への存在を分析し、NP困難性の位相的条件を特徴づけた。
• 被覆空間論を適用して、$|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ から $\mathcal{S}^1$ への $\mathbb{Z}_2$-写像が存在するための必要十分条件を示した。具体的には、$\pi_1(|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2})$ から $\mathbb{Z}$ への群準同型 $f$ が $\mathbb{Z}_2$-作用を保存する場合に限る。
• 辺パス群を、バックトラッキングと4サイクルに関する同値関係による閉路の同値類として、$|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ の基本群の具体的な実現とした。
• このような準同型が存在する場合、$\mathrm{Pol}(C_n, H)$ は有界な本質的アリティを持つミニオンへ準同型写像をもつことが示され、$\mathrm{PCSP}(C_n, H)$ のNP困難性が導かれる。
• $|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ は $|\mathrm{Box}(H)|$ と $\mathbb{Z}_2$-ホモトピー同値であるため、位相的条件は $\mathcal{S}^1$ への $\mathbb{Z}_2$-写像の存在と同値である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $k$ に対して、$k$-彩色可能なグラフを $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 色で彩色することがNP困難となるか？
• RQ2 G-彩色可能なグラフのH-彩色のNP困難性は、Hのボックス複体の位相によって完全に特徴づけられるか？
• RQ3 すべての非二部グラフH-彩色可能なGに対して、$|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ から $\mathcal{S}^1$ への $\mathbb{Z}_2$-写像の存在が、$\mathrm{PCSP}(G, H)$ のNP困難性を完全に決定づけるか？
• RQ4 アドジョイント関手と基本群の準同型は、プロミス制約充足問題の文脈で、PCSP間の還元をどのように可能にするか？
• RQ5 ボックス複体とその基本群は、$K_4$ や円形クライQUE、平方自由グラフなどのHに対するH-彩色問題の複雑さを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• すべての $k \geq 4$ に対して、$k$-彩色可能なグラフを $\binom{k}{\floor{k/2}} - 1$ 色で彩色することはNP困難であり、彩色数に対する指数的ギャップを達成した。
• すべての非二部グラフH-彩色可能なGに対するH-彩色のNP困難性は、Hのボックス複体の位相によって完全に決定される。具体的には、$|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ から $\mathcal{S}^1$ への $\mathbb{Z}_2$-写像の存在に依存する。
• この結果により、G-彩色可能なグラフの3-彩色のNP困難性が、$|\mathrm{Hom}(K_2, H)|$ から $\mathcal{S}^1$ への $\mathbb{Z}_2$-写像をもつすべてのH（平方自由グラフや円形クライQUEを含む）に一般化された。
• $H = K_4$ の場合、$|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}$ の基本群は $\mathbb{Z}_2$ であり、$\mathbb{Z}$ への唯一の可能な群準同型は偶奇を保存するため、この方法ではNP困難性を決定できない。したがって、$K_4$ は未解決のケースのまま残っている。
• 群準同型 $f_*: \pi_1(|\mathrm{Box}(H)|_{/\mathbb{Z}_2}) \to \mathbb{Z}$ が $\mathbb{Z}_2$-作用を保存する場合、$\mathbb{Z}_2$-写像 $\mathcal{S}^1$ への存在に必要十分である。これは、完全な位相的特徴づけを提供する。
• アドジョイント関手の使用により、PCSP間の還元を統一的かつ拡張的に扱う一般枠組みが得られ、制約充足の代数的理論における既存の結果を統合・拡張した。