[論文レビュー] Improved higher order Poincaré inequalities on the hyperbolic space via Hardy-type remainder terms

Elvise Berchio, Debdip Ganguly|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$k$ 個のハーディー型剰余項を導入することにより、$k > l$ における $k$ 階微分の勾配の $L^2$ ノルム比に対して、双曲空間上でのより良い高階 Poincaré 不等式を確立する。主な貢献は、測地的距離 $r$ の逆数の累乗を含む、鋭い剰余項の明示的構成であり、$k=1,2$ の既存結果を拡張し、変分法および球面調和関数の技法を用いて定数の最適性を証明する。

ABSTRACT

The paper deals about Hardy-type inequalities associated with the following higher order Poincaré inequality: $$ \left( \frac{N-1}{2} ight)^{2(k -l)} := \inf_{ u \in C_{c}^{\infty} \setminus \{0\}} \frac{\int_{\mathbb{H}^{N}} | abla_{\mathbb{H}^{N}}^{k} u|^2 \ dv_{\mathbb{H}^{N}}}{\int_{\mathbb{H}^{N}} | abla_{\mathbb{H}^{N}}^{l} u|^2 \ dv_{\mathbb{H}^{N}} }\,, $$ where $0 \leq l < k$ are integers and $\mathbb{H}^{N}$ denotes the hyperbolic space. More precisely, we improve the Poincaré inequality associated with the above ratio by showing the existence of $k$ Hardy-type remainder terms. Furthermore, when $k = 2$ and $l = 1$ the existence of further remainder terms are provided and the sharpness of some constants is also discussed. As an application, we derive improved Rellich type inequalities on upper half space of the Euclidean space with non-standard remainder terms.

研究の動機と目的

• 双曲空間上の古典的高階 Poincaré 不等式に非自明な剰余項を追加することで改善すること。
• 不等式 (1.1) の厳密性を解消するために、ギャップを定量化する明示的なハーディー型剰余項を同定すること。
• 既存の $k=1, l=0$ および $k=2, l=0$ の結果を一般の $k > l \geq 0$ に拡張し、特に $k=2, l=1$ に注目すること。
• 変分法および漸近解析を用いて、剰余項における定数の最適性を証明すること。
• 双曲空間の結果を用いて、ユークリッド空間の上半空間における新しいリーリヒ型不等式を導出すること。

提案手法

• 球面調和関数の展開を用いて、$\mathbb{H}^N$ 上の高階微分作用素のスペクトル構造を分析する。
• 新しいスーパーソリューションの構成を応用し、$k$ 階および $l$ 階勾配ノルムの差に対する下界を導出する。
• 双曲空間の上半平面モデルを用い、計量 $ds^2 = y^{-2}(dx^2 + dy^2)$ を用いて問題をユークリッド座標に変換する。
• 変数変換 $u(x,y) = y^\alpha v(x,y)$ を用いて、$\int_{\mathbb{H}^N} |\nabla_{\mathbb{H}^N}^k u|^2 \, dv_{\mathbb{H}^N}$ および $\int_{\mathbb{H}^N} |\nabla_{\mathbb{H}^N}^l u|^2 \, dv_{\mathbb{H}^N}$ の明示的表現を $v(x,y)$ の関数として導出する。
• 双曲ラプラシアンとユークリッドラプラシアンの関係を表す式 $\Delta_{\mathbb{H}^N} = y^2 \Delta - (N-2)y \partial_y$ を用いる。
• 変分的議論と既知のハーディー不等式との比較を用いて、剰余項における定数の最適性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲空間 $\mathbb{H}^N$ 上の古典的高階 Poincaré 不等式に、$k > l \geq 0$ に対して $k$ 個のハーディー型剰余項を追加することで改善可能か？
• RQ2 $k=2, l=1$ の場合に、$C \int \frac{u^2}{r\gamma} \, dv_{\mathbb{H}^N}$ 形の剰余項を含む Poincaré-Hardy 不等式が成立するか？また、最適な定数は何か？
• RQ3 $k=2, l=0$ の剰余項における定数 $\frac{(N-1)^2}{16}$ は鋭いか？さらに改善可能か？
• RQ4 双曲空間 $\mathbb{H}^N$ 上での改善された不等式を用いて、$\mathbb{R}^N_+$ 上で非標準的な剰余項を含む新しいリーリヒ型不等式を導出可能か？
• RQ5 剰余項は次元 $N$ や $k,l$ の選択にどのように依存するか？

主な発見

• $k=1, l=0$ の場合、$N > 2$ に対して、$\int_{\mathbb{H}^N} |\nabla_{\mathbb{H}^N} u|^2 \, dv_{\mathbb{H}^N} - \left(\frac{N-1}{2}\right)^2 \int_{\mathbb{H}^N} u^2 \, dv_{\mathbb{H}^N} \geq \frac{1}{4} \int_{\mathbb{H}^N} \frac{u^2}{r^2} \, dv_{\mathbb{H}^N}$ が鋭い定数を用いて成立する。
• $k=2, l=0$ の場合、$N > 4$ に対して、$\int_{\mathbb{H}^N} (\Delta_{\mathbb{H}^N} u)^2 \, dv_{\mathbb{H}^N} - \left(\frac{N-1}{2}\right)^4 \int_{\mathbb{H}^N} u^2 \, dv_{\mathbb{H}^N} \geq \frac{(N-1)^2}{8} \int_{\mathbb{H}^N} \frac{u^2}{r^2} \, dv_{\mathbb{H}^N} + \frac{9}{16} \int_{\mathbb{H}^N} \frac{u^2}{r^4} \, dv_{\mathbb{H}^N}$ が鋭い定数を用いて成立する。
• $k=2, l=1$ の剰余項における定数 $\frac{(N-1)^2}{16}$ が最適であることが証明され、それより小さい値をとると既知の鋭い Poincaré 不等式と矛盾する。
• $r^{-2}$ 項における定数 $\frac{(N-1)^2}{8}$ の最適性は、勾配の $L^2$ ノルムおよびハーディー＝マズヤの不等式との比較により確認された。
• 本稿では、$y^\alpha$ スケーリングを用いて双曲空間の結果をユークリッド座標に変換することで、上半空間 $\mathbb{R}^N_+$ 上での改善されたリーリヒ型不等式を導出した。
• この手法により、古典的なリーリヒ不等式に存在しない $y^{-2}$ および $y^{-4}$ 重みを含む非標準的な剰余項が得られた。