[論文レビュー] Improved Inapproximability Results for Counting Independent Sets in the Hard-Core Model

Andreas Galanis, Qi Ge+3 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2011

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、最大次数Δのグラフにおけるハードコアモデルにおける独立集合の数え上げに関する、改良された近似不能性結果を確立する。Mossel, Weitz, Wormaldの第二モーメント解析を精緻化することで、Δ = 3 または Δ ≥ 6 の場合に、λ > λ_c(𝕋_Δ) のとき、完全多項式時間確率的近似スキーム（FPRAS）が存在しないことを証明する。これは、この問題クラスにおける計算的非可解性の閾値に関する近い予想を解消する。

ABSTRACT

We study the computational complexity of approximately counting the number of independent sets of a graph with maximum degree Delta. More generally, for an input graph G=(V,E) and an activity lambda>0, we are interested in the quantity Z_G(lambda) defined as the sum over independent sets I weighted as w(I) = lambda^|I|. In statistical physics, Z_G(lambda) is the partition function for the hard-core model, which is an idealized model of a gas where the particles have non-negibile size. Recently, an interesting phase transition was shown to occur for the complexity of approximating the partition function. Weitz showed an FPAS for the partition function for any graph of maximum degree Delta when Delta is constant and lambda< lambda_c(Tree_Delta):=(Delta-1)^(Delta-1)/(Delta-2)^Delta. The quantity lambda_c(Tree_Delta) is the critical point for the so-called uniqueness threshold on the infinite, regular tree of degree Delta. On the other side, Sly proved that there does not exist efficient (randomized) approximation algorithms for lambda_c(Tree_Delta) < lambda < lambda_c(Tree_Delta)+epsilon(Delta), unless NP=RP, for some function epsilon(Delta)>0. We remove the upper bound in the assumptions of Sly's result for Delta not equal to 4 and 5, that is, we show that there does not exist efficient randomized approximation algorithms for all lambda>lambda_c(Tree_Delta) for Delta=3 and Delta>= 6. Sly's inapproximability result uses a clever reduction, combined with a second-moment analysis of Mossel, Weitz and Wormald which prove torpid mixing of the Glauber dynamics for sampling from the associated Gibbs distribution on almost every regular graph of degree Delta for the same range of lambda as in Sly's result. We extend Sly's result by improving upon the technical work of Mossel et al., via a more detailed analysis of independent sets in random regular graphs.

研究の動機と目的

• ハードコア分配関数の近似における計算的非可解性の閾値が、無限大のΔ正則木における一意性閾値λ_c(𝕋_Δ) に丁度一致するという予想を解消すること。
• Slyの近似不能性結果における、λ_c(𝕋_Δ) よりも大きな上界ε(Δ)を必要としていた点を、Δ ≠ 4,5 の場合にその制限を除去すること。
• ランダム正則グラフにおけるGlauberダイナミクスの混合時間の解析を強化し、特に先行研究で用いられた第二モーメント法を改善すること。
• Glauberダイナミクスの遅い混合が、Δ の指定された範囲において λ > λ_c(𝕋_Δ) のとき、分配関数の近似不能性を示すこと。

提案手法

• Slyの還元フレームワークを拡張し、ランダム正則グラフにおける独立集合の第二モーメント解析を改善し、より精緻な組合せ的推定を用いる。
• ランダム正則グラフにおける独立集合の数の分散に関する詳細な解析を実施し、近似不能性証明で用いる境界を強化する。
• Glauberダイナミクスの混合時間の解析に、洗練されたモーメント法を適用し、Δ = 3 または Δ ≥ 6 のとき λ > λ_c(𝕋_Δ) において遅い混合を示す。
• Mathematicaを用いた記号計算により、第二モーメント解析で生じる複雑な多項式不等式を検証する。特に、λ_c(𝕋_Δ) の近傍における臨界領域で有効である。
• 期待値の比を考察し、コーシー＝シュワルツ型の境界を適用することで、分配関数を分散解析に適した形に変換する。
• Glauberダイナミクスの迅速混合とFPRASの存在との関係を活用し、遅い混合がNP ≠ RPの下で近似不能性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Δ ≠ 4,5 のすべてのΔについて、ハードコアモデルにおける独立集合の数え上げの近似不能性閾値が、無限大のΔ正則木における一意性閾値λ_c(𝕋_Δ) に丁度一致するか？
• RQ2 Slyの近似不能性結果における上界ε(Δ) を、Δ = 3 および Δ ≥ 6 の場合に除去可能か？ これにより、λ > λ_c(𝕋_Δ) のすべてのλに対して近似不能性が証明されるか？
• RQ3 Mossel, Weitz, Wormaldの第二モーメント解析を改善することで、Δ = 3 または Δ ≥ 6 の場合に、ランダム正則グラフ上でλ > λ_c(𝕋_Δ) のときGlauberダイナミクスの混合が遅いことを示せるか？
• RQ4 臨界点λ_c(𝕋_Δ) が、最大次数Δのグラフにおけるハードコア分配関数のFPRASが存在しない正確な閾値であるか？
• RQ5 Glauberダイナミクスがランダム正則グラフ上で遅く混合するλの正確な範囲は何か？ そして、これは分配関数の近似の計算複雑性とどのように関係するか？

主な発見

• Δ = 3 および λ > λ_c(𝕋_3) = 4 のとき、NP = RP でない限り、ハードコア分配関数のFPRASは存在しない。
• Δ ≥ 6 および λ > λ_c(𝕋_Δ) のとき、同じ複雑性仮定の下でFPRASの非存在性を本稿は証明する。
• 近似不能性結果は、Δ = 4 および Δ = 5 に対しても範囲を拡張され、Δ = 4 ではλ ∈ (1.6875, 2.01538] および (4, ∞)、Δ = 5 では複数の区間が含まれる。
• 著者らは、ランダム正則グラフにおける独立集合の第二モーメント解析を改善し、分散の境界をより強くし、より緊密な近似不能性結果を得た。
• 証明により、Δ = 3 または Δ ≥ 6 のとき、λ > λ_c(𝕋_Δ) においてGlauberダイナミクスが遅く混合することが示され、これがFPRASの非存在を示唆する。
• 解析により、臨界閾値λ_c(𝕋_Δ) が計算的可解性の正確な境界であることが確認され、分野における近い予想が解消された。