[論文レビュー] Improved invariant polytope algorithm and applications

Thomas Mejstrik|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2018

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 28被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、連立スペクトル半径（JSR）を計算するための不変多面体アルゴリズムの著しく最適化されたバージョンを提示しており、シングルスレッド性能で最大3倍の高速化を達成するとともに、並列処理が可能になった。この手法は、高速な下界を提供する修正されたグリペンバーグアルゴリズムと、強化されたミンコフスキーノルム計算を組み合わせており、次元25までの行列族や非負行列まで3000次元まで正確なJSR計算を可能にし、ダーベチースウェーブレットの正則性や符号容量への応用を含む。

ABSTRACT

In several papers of 2013 - 2016, Guglielmi and Protasov made a breakthrough in the problem of the joint spectral radius computation, developing the invariant polytope algorithm which for most matrix families finds the exact value of the joint spectral radius. This algorithm found many applications in problems of functional analysis, approximation theory, combinatorics, etc.. In this paper we propose a modification of the invariant polytope algorithm making it roughly 3 times faster and suitable for higher dimensions. The modified version works for most matrix families of dimensions up to 25, for non-negative matrices the dimension is up to three thousand. Besides we introduce a new, fast algorithm for computing good lower bounds for the joint spectral radius. The corresponding examples and statistics of numerical results are provided. Several applications of our algorithms are presented. In particular, we find the exact values of the regularity exponents of Daubechies wavelets of high orders and the capacities of codes that avoid certain difference patterns.

研究の動機と目的

• 連立スペクトル半径（JSR）の計算における計算難易度に対処すること。これは一般にNP困難かつ決定不能であると知られている問題である。
• 不変多面体アルゴリズムの効率性とスケーラビリティを向上させること。これは、多くの行列族に対して正確なJSRを計算できる数少ない手法の1つである。
• 高次元計算（最大25次元）と並列実行を可能とすることで、アルゴリズムの実用的適用範囲を拡張すること。
• 時間的に制限のある応用を支援し、主アルゴリズムの収束を改善するために、JSRの下界を素早くかつ信頼性高く計算する手法を開発すること。

提案手法

• ミンコフスキーノルムの計算を、より効率的な線形計画法の技術と計算オーバーヘッドの低減によって最適化することで、不変多面体アルゴリズムを修正する。
• スプライス・マキマイジング・プロダクト（s.m.p.s）を効率的に探索する修正されたグリペンバーグアルゴリズムを導入し、貪欲で反復的なアプローチによって強いJSRの下界を提供する。
• 共有メモリ並列処理を用いて、修正された不変多面体アルゴリズムを並列化し、マルチコアシステムでの高速な計算を実現する。
• 極値ノルムと行列の軌道像の凸包を用いて不変多面体を構築し、アルゴリズムの反復処理によってJSRに収束することを保証する。
• ウェーブレット理論と符号理論に由来する行列族に対して、正確なJSR値を計算することで、性能と正確性を検証する。
• 修正されたグリペンバーグアルゴリズムを、完全な不変多面体アルゴリズムを実行する前の高速なプロセッサとして統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アルゴリズム的および実装レベルの最適化によって、不変多面体アルゴリズムの性能は著しく向上する可能性があるか？
• RQ2 修正されたグリペンバーグアルゴリズムは、スプライス・マキマイジング・プロダクト（s.m.p.s）を信頼性高く同定でき、JSRに対してタイトな下界を提供するのか？
• RQ3 修正された不変多面体アルゴリズムが、正確なJSRを効率的に計算できる最大の行列次元は何か？
• RQ4 修正されたグリペンバーグアルゴリズムと最適化された不変多面体アルゴリズムの組み合わせは、ウェーブレット正則性や符号容量といった実用的応用においてどれほど有効か？
• RQ5 不変多面体アルゴリズムは、現代のマルチコアアーキテクチャを効果的に活用できるように並列化可能か？

主な発見

• 修正された不変多面体アルゴリズムは、元のバージョンと比較してシングルスレッド性能で最大3倍の高速化を達成した。
• アルゴリズムは次元25までの行列族に対して正確なJSRを計算でき、一部のケースでは次元40まで拡張可能である。
• 非負行列に対しては、次元が最大3000までスケーリング可能であり、広範な適用可能性を示している。
• 修正されたグリペンバーグアルゴリズムは、非常に短時間で正確なJSRの下界を計算でき、実際の応用では正しいs.m.p.をしばしば特定する。
• 著者らは、次期42までのダーベチースウェーブレットの正確な正則性指数を計算し、長年の未解決問題を解消した。
• アルゴリズムは、特定の差分パターンを避ける符号の正確な容量を計算し、符号理論における実用的価値を示した。