[論文レビュー] Improved Low-qubit Hidden Shift Algorithms

Xavier Bonnetain|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、キッズ、ジョー、サファレフの量子隠れシフトアルゴリズムを、サブセットサムアルゴリズムを統合することで改善し、クエリ数と時間計算量を大幅に削減した。量子クエリコストを先行研究と比較して最大4.5倍まで低減するという重要な結果を得ており、特に後量子暗号の応用における2次的なギャップ仮定のもとで、量子クエリ、古典的時間、メモリの新たなトレードオフを実現した。

ABSTRACT

Hidden shift problems are relevant to assess the quantum security of various cryptographic constructs. Multiple quantum subexponential time algorithms have been proposed. In this paper, we propose some improvements on a polynomial quantum memory algorithm proposed by Childs, Jao and Soukharev in 2010. We use subset-sum algorithms to significantly reduce its complexity. We also propose new tradeoffs between quantum queries, classical time and classical memory to solve this problem.

研究の動機と目的

• アーベル群における隠れシフト問題の量子クエリおよび古典的時間計算量を低減すること。
• 2010年のキッズ、ジョー、サファレフの量子アルゴリズム（量子クエリの複雑さが $ L(\tfrac{1}{\tsqrt{2}}) $）を改善すること。
• 特に2次的なギャップ仮定のもとで、量子クエリ、古典的時間、古典的メモリの間の新たなトレードオフを探索すること。
• 隠れシフトの困難性に依存する後量子暗号スキームの具体的コストへの影響を評価すること。
• サブセットサムアルゴリズムが、隠れシフトアルゴリズムにおける組み合わせルーチンの最適化に活用可能かどうかを調査すること。

提案手法

• サブセットサムアルゴリズムを隠れシフトアルゴリズムの組み合わせルーチンに統合し、必要な量子クエリ数を削減する。
• 入力サイズ $ k_i = (i\alpha + \beta)\sqrt{n\log_2 n} $ を用いた一般化されたルーチン構造を採用し、クエリコストと古典的時間コストのバランスを取る。
• 漸近的複雑度をサブセットサムの解法指数 $ c $ の観点から表すために $ L(c) $ 表記を適用する。
• 量子クエリコストが $ L(\sqrt{c/3}) $、古典的時間コストが $ L(2\sqrt{c/3}) $ となる2次的なギャップ戦略を採用し、グローバーのアルゴリズムのトレードオフに類似させる。
• 1つのルーチンを用いてクエリ数を最適化し、$ O(n^2) $ のクエリと $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ の古典的時間で実行し、$ c < 0.5 $ のときには古典的アルゴリズムを上回る。
• 多項式メモリ型およびメモリ集約型の両方のバージョンに適応し、クーパー・ベルクおよびレーゲブの先行研究と比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブセットサムアルゴリズムを用いて、隠れシフト問題の量子クエリ複雑度を低減できるか？
• RQ2 サブセットサム技術を用いることで、量子クエリ、古典的時間、古典的メモリの間のどのようなトレードオフが達成できるか？
• RQ3 漸近的および具体的な複雑度の観点から、改善されたアルゴリズムは先行の量子隠れシフトアルゴリズムと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 2次的なギャップ（量子クエリコストと古典的時間コストの間のギャップ）を維持しながら、指数的でない複雑度を達成できるか？
• RQ5 特に $ c < 0.5 $ の場合に、改善されたアルゴリズムは具体的な設定で古典的アルゴリズムを上回るか？

主な発見

• 改善されたアルゴリズムは、サブセットサムインスタンスの解法指数 $ c $ を用いて、量子クエリコストを $ L(\sqrt{c}) $ まで低減した。
• 古典的時間と量子クエリコストの間に2次的なギャップを設けることで、アルゴリズムは $ L(\sqrt{c/3}) $ の量子クエリと $ L(2\sqrt{c/3}) $ の古典的時間を達成した。
• $ c = 0.291 $ の場合、アルゴリズムは $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ の古典的時間およびメモリを達成し、$ c < 0.5 $ のときには古典的全探索を上回った。
• 1つのルーチンを用い、$ O(n^2) $ のクエリと $ \widetilde{O}(2^{0.291n}) $ の古典的時間で実行することで、$ c < 0.5 $ のときには既存の最良の古典的アルゴリズムを上回った。
• 元のキッズ＝ジョー＝サファレフのアルゴリズムと比較して、クエリ複雑度指数を最大4.5倍まで低減した。
• 特にNISTのセキュリティレベル1、3、5（これらは全探索仮定に基づく）に対して、後量子セキュリティのための改善されたトレードオフを提供した。