[論文レビュー] Improved Lower Bounds for Online Hypercube and Rectangle Packing

David Blitz, Sandy Heydrich+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2次元以上のオンラインハイパーキューブおよび長方形パッキングにおける下界を改善し、競争比が1.680783未満のオンラインアルゴリズムは存在しないことを示すために、独創的な敵対的入力構成を導入した。長方形パッキングにおいては1.859の下界を示した。また、2次元ハイパーキューブパッキングにおけるハーモニック型アルゴリズムに対しては2.0954の下界を証明し、2.0の壁を破ることはできないことを示した。

ABSTRACT

Packing a given sequence of items into as few bins as possible in an online fashion is a widely studied problem. We improve lower bounds for packing boxes into bins in two or more dimensions, both for general algorithms for squares and rectangles (in two dimensions) and for an important subclass, so-called Harmonic-type algorithms for hypercubes (in two or more dimensions). Lastly, we show that two adaptions of ideas from a one-dimensional packing algorithm to square packing do not help to break the barrier of 2.

研究の動機と目的

• 2次元以上のオンラインビンパッキングにおける既知の上界と下界の差を埋めること。
• 2次元におけるオンライン正方形および長方形パッキングの一般下界を改善すること。
• ハイパーキューブパッキングにおける重要なハーモニック型アルゴリズムクラスのより緊密な下界を確立すること。
• 2次元ハイパーキューブパッキングにおいて、既存のアルゴリズム的手法が2.0の競争比の壁を破る能力に限界があることを分析すること。

提案手法

• 適切にサイズを調整したアイテムと砂を用いた敵対的入力列を構築し、アルゴリズムの非効率性を強制する。
• 双対適合法を用いて最適なビン使用量を計算し、アルゴリズムの性能と比較する。
• ラマナンらの一般化された手法を応用し、高次元におけるハーモニック型アルゴリズムの下界を導出する。
• 2段階の入力構成を導入：まず中程度のサイズのアイテム、次に大きなアイテムと砂を追加し、アルゴリズムの無駄を最大化する。
• アイテムのサイズや砂の体積などのパラメータを最適化し、アルゴリズムのビン使用量と最適なビン使用量の比を最大化する。
• 数値最適化を用いて、2次元におけるB₂アルゴリズムの下界を最大化する臨界値αを特定し、2.0954の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元正方形パッキングにおいて、任意のオンラインアルゴリズムが達成可能な最良の競争比は何か？
• RQ2 2次元ハイパーキューブパッキングにおけるハーモニック型アルゴリズムは、2.0未満の競争比を達成できるか？
• RQ3 2次元におけるオンライン長方形パッキングのタイトな一般下界は何か？
• RQ4 敵対的入力列をどのように構築すれば、オンラインアルゴリズムと最適アルゴリズムの差を最大限にできるか？
• RQ5 2次元ハイパーキューブパッキングの下界は、B₂アルゴリズムクラスにおいて2.0954を超えてさらに向上できるか？

主な発見

• 本論文は、2次元におけるオンライン正方形パッキングに対して、1.680783の新たな一般下界を確立した。
• 本論文は、2次元におけるオンライン長方形パッキングに対して、1.859の新たな一般下界を証明した。
• 2次元ハイパーキューブパッキングにおけるハーモニック型アルゴリズムに対して、2.0954の下界を証明し、この値未満の競争比を達成できないことを示した。
• ハーモニック型アルゴリズムによる2次元ハイパーキューブパッキングの下界は、従来の2.0の壁を超えており、このクラスに根本的な限界があることを示唆している。
• 著者らは、拡張された入力列を用いることで長方形パッキングの下界を1.907まで向上させられると推測しているが、形式的な証明は未解決のままである。
• 分析により、中程度のサイズのアイテムを別々にパッキングすることで無駄になる空間が、サイズの保証を得る利点を上回ることが示された。たとえ色分けを延期しても同様の結果となる。