[論文レビュー] Improved Network Decompositions using Small Messages with Applications on MIS, Neighborhood Covers, and Beyond

Mohsen Ghaffari, Julian Portmann|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小規模なメッセージ（CONGESTモデル内）を用いた決定的分散アルゴリズムを提示し、ネットワーク分解を構築する。これにより、ラウンド複雑性が向上し、最大独立集合（MIS）、スパンナーや近隣被覆といった主要な問題に対するより高速な確率的および決定的アルゴリズムが可能になる。主な貢献は、大容量メッセージの仮定に依存しない新しい再帰的クラスタリング手法とメタノードの抽象化であり、高確率で非多項式ラウンド複雑性を達成する。

ABSTRACT

Network decompositions, as introduced by Awerbuch, Luby, Goldberg, and Plotkin [FOCS'89], are one of the key algorithmic tools in distributed graph algorithms. We present an improved deterministic distributed algorithm for constructing network decompositions of power graphs using small messages, which improves upon the algorithm of Ghaffari and Kuhn [DISC'18]. In addition, we provide a randomized distributed network decomposition algorithm, based on our deterministic algorithm, with failure probability exponentially small in the input size that works with small messages as well. Compared to the previous algorithm of Elkin and Neiman [PODC'16], our algorithm achieves a better success probability at the expense of its round complexity, while giving a network decomposition of the same quality. As a consequence of the randomized algorithm for network decomposition, we get a faster randomized algorithm for computing a Maximal Independent Set, improving on a result of Ghaffari [SODA'19]. Other implications of our improved deterministic network decomposition algorithm are: a faster deterministic distributed algorithms for constructing spanners and approximations of distributed set cover, improving results of Ghaffari, and Kuhn [DISC'18] and Deurer, Kuhn, and Maus [PODC'19]; and faster a deterministic distributed algorithm for constructing neighborhood covers, resolving an open question of Elkin [SODA'04].

研究の動機と目的

• CONGESTモデルにおいて、1ラウンドあたりO(log n)ビットの小規模メッセージのみを用いる決定的分散アルゴリズムを、ネットワーク分解の構築に開発すること。
• 従来の手法と同等の分解品質を維持しつつ、既存の決定的ネットワーク分解アルゴリズムのラウンド複雑性を改善すること。
• MIS、スパンナーパワー構築、近隣被覆といった基本的な分散問題に対するより高速な確率的および決定的アルゴリズムを可能にすること。
• CONGESTモデルにおいて小規模メッセージを用いた決定的スパース近隣被覆構築の未解決問題を解決すること。

提案手法

• メタノードを用いた再帰的クラスタリング技術を導入し、ノードのクラスタを表すことで、各段階で問題のサイズを低減する。
• 階層的分解を採用し、ルーリングセットと局所的クラスタリング規則に基づいてメタノードをスーパークラスタにグループ化する。
• 1ビットメッセージを用いて成功条件を確認する1回の実行に複数の並列実行を適用する確率的実行戦略を適用する。
• 収束伝播と局所的検証を用いて、成功した実行を検出し、ネットワーク全体でクラスタ形成を調整する。
• ネットワーク分解を活用し、色クラスごとにコンポーネントを並列処理することで、同じ色のクラスタ同士が隣接しないように保証する。
• 色クラスに跨るパイプライン処理を通じて、既存のMISアルゴリズム（例：Ghaffari [Gha16]）と組み合わせ、高確率での成功を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来の研究と比較して、より高いラウンド複雑性を達成する小規模メッセージを用いたCONGESTモデルにおける決定的ネットワーク分解が構築可能か？
• RQ2 小規模メッセージのみを用いて、指数的になくす失敗確率を持つ確率的ネットワーク分解が達成可能か？
• RQ3 改善されたネットワーク分解を用いて、MIS、スパンナーや支配集合近似の既知の分散アルゴリズムを高速化可能か？
• RQ4 CONGESTモデルにおいて小規模メッセージを用いた決定的スパース近隣被覆構築の未解決問題が解決可能か？
• RQ5 再帰的メタノード抽象化は、分散グラフアルゴリズムにおけるより優れたスケーラビリティと低いラウンド複雑性を可能にするか？

主な発見

• 本稿では、(O(√(log log n)), 2^O(√(log log n)))分解のための決定的ネットワーク分解アルゴリズムを提示し、ラウンド複雑性が2^O(√(log log n))である。これは従来の研究を改善する。
• 確率的バージョンは、同じラウンド複雑性で1 - 1/poly(n)の成功確率を達成し、ElkinとNeiman [PODC’16] よりも成功確率が優れている。
• MISのためのより高速な確率的アルゴリズムが得られ、ラウンド複雑性がO(log Δ · √(log log n)) + 2^O(√(log log n))である。これはGhaffari [SODA’19] よりも改善されている。
• CONGESTモデルにおいて、小規模メッセージを用いたスパース近隣被覆構築のための最初の決定的アルゴリズムが提示され、Elkin [SODA’04] が提起した未解決問題が解決された。
• スパンナーパワー構築および支配集合近似のための改善された決定的アルゴリズムが達成され、GhaffariとKuhn [DISC’18] やDeurerら [PODC’19] の既存の境界と同等またはそれを上回っている。
• 本手法により、色クラスに跨る効率的な並列処理が可能となり、各クラスタのMIS計算が独立的かつ並列に実行され、正しさと高確率での成功が保証される。