[論文レビュー] Improved Product-State Approximation Algorithms for Quantum Local Hamiltonians

Thiago Bergamaschi|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2022

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、密度的・低閾値ランク・スパースなマイナー自由グラフ上の量子k-局所ハミルトニアンの自由エネルギーについて、古典的で加法的誤差を伴う近似アルゴリズムを提示する。ハミルトニアンに対する弱いゼメレディ型正則性補題を導入し、情報理論的プロダクト状態技術を拡張することで、低温における自由エネルギーに対するO(εmJ)の近似が達成され、問題がNPに属することを示し、δネット離散化を用いたクラスタ化プロダクト状態における動的計画法による効率的アルゴリズムの実現が可能になる。

ABSTRACT

The ground state energy and the free energy of Quantum Local Hamiltonians are fundamental quantities in quantum many-body physics, however, it is QMA-Hard to estimate them in general. In this paper, we develop new techniques to find classical, additive error product-state approximations for these quantities on certain families of Quantum $k$-Local Hamiltonians. Namely, those which are either dense, have low threshold rank, or are defined on a sparse graph that excludes a fixed minor, building on the methods and the systems studied by Brandão and Harrow, Gharibian and Kempe, and Bansal, Bravyi and Terhal. We present two main technical contributions. First, we discuss a connection between product-state approximations of local Hamiltonians and combinatorial graph property testing. We develop a series of weak Szemerédi regularity lemmas for $k$-local Hamiltonians, built on those of Frieze and Kannan and others. We use them to develop constant time sampling algorithms, and to characterize the `vertex sample complexity' of the Local Hamiltonian problem, in an analog to a classical result by Alon, de la Vega, Kannan and Karpinski. Second, we build on the information-theoretic product-state approximation techniques by Brandão and Harrow, extending their results to the free energy and to an asymmetric graph setting. We leverage this structure to define families of algorithms for the free energy at low temperatures, and new algorithms for certain sparse graph families.

研究の動機と目的

• 正確な計算がQMA-ハードであるとされる領域においても、量子k-局所ハミルトニアンの自由エネルギーを近似するための効率的古典的アルゴリズムの開発。
• プロダクト状態近似技術の適用範囲を、Ground状態エネルギーから低温における自由エネルギーへ拡張すること。
• 高次数や小スケール拡張性といった構造的仮定を緩和するため、スパースなマイナーを含まないグラフに対する新しい正則性補題とアルゴリズムフレームワークの導入。
• 広範な加法的誤差を伴う自由エネルギー近似がNPに属することを確立し、古典的近似スキームの利用を可能にすること。
• Brandão & Harrow、Gharibian & Kempe、Bansalらの先行研究を統合・拡張し、特に非対称なグラフ構造と熱平衡の文脈において有効にすること。

提案手法

• k-局所ハミルトニアンに対する弱いゼメレディ型正則性補題を構築し、定数時間サンプリングを可能とするとともに、古典的組合せ的性質テストと類似した頂点サンプル複雑度を特徴づける。
• 高次元頂点の空間をδネットで離散化し、Fannes–Audenaert不等式を用いてエントロピーとエネルギー誤差をバインドする。
• 木分解に基づく動的計画法を変形し、正則化された自由エネルギー目的関数を最小化する。クラスタ間および高次元頂点間の相互作用を有効な古典的局所相互作用として扱う。
• 情報理論的自己分離引数を活用し、O(εmJ)の加法的誤差内で自由エネルギーを近似する混合プロダクト状態を構築する。
• 最適なクラスタ状態とδ近傍状態を組み合わせたハイブリッド状態構築法を用い、エネルギー寄与とエントロピー寄与の両方の誤差をホルダーの不等式およびFannes–Audenaert不等式により制御する。
• 拡張された木分解フレームワークを適用し、スパースなマイナー自由グラフにおいて、時間計算量n^O(1) + n · max(2, 1/βJ) ~O(ε^{-9})を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 これまでに知られている範囲を越えて、より広い種類の相互作用グラフに対して、量子k-局所ハミルトニアンの自由エネルギーのプロダクト状態近似を効率的に構築できるか？
• RQ2 量子局所ハミルトニアンにおける自由エネルギー問題の頂点サンプル複雑度は何か？ そしてこれは組合せ的グラフ正則性とどのように関係するか？
• RQ3 情報理論的プロダクト状態近似技術を、Ground状態エネルギーから低温における自由エネルギーへどのように拡張できるか？
• RQ4 マイナー自由性や低閾値ランクといった、相互作用グラフの構造的条件は、自由エネルギーの効率的古典的近似を可能にするか？
• RQ5 クラスタ化されたプロダクト状態における動的計画法を、有界誤差で正則化された自由エネルギー目的関数を最小化するようにどのように適合できるか？

主な発見

• 強度が有界なm = Ω(n/ε³)の相互作用を持つnキュービットの2-局所ハミルトニアンに対して、f(σβ) ≤ F(β) + ε·mを満たすプロダクト状態σβ = ⊗σuが存在し、自由エネルギー近似がNPに属することが示された。
• 最大相互作用強度がJのh-マイナー自由グラフにおいて、古典的確率的アルゴリズムは、時間計算量n^O(1) + n · max(2, 1/βJ) ~O(ε^{-9})で、自由エネルギーをO(εmJ)の誤差内で近似するクラスタ化されたプロダクト状態σを計算可能である。
• 高次元頂点のδネット離散化による自由エネルギー誤差はO(δJm + n/β · δ log(1/δ))であり、δ = ε · min(1, Ω(β²J²))のときO(εmJ)で有界となる。
• 最適なクラスタ状態とδ近傍状態を組み合わせたハイブリッド状態構築法により、ホルダーの不等式およびFannes–Audenaert不等式を用いて、エネルギー誤差とエントロピー誤差の両方が制御される。
• 正則化された自由エネルギーをクラスタ化されたプロダクト状態上での最小化問題は、幅O(ε^{-9})の拡張された木分解上で古典的動的計画法問題に還元される。
• Brandão & HarrowおよびGharibian & Kempeの先行研究を一般化し、プロダクト状態近似を自由エネルギーおよびマイナーを含まないスパースグラフ族へ拡張した。