[論文レビュー] Improved Pseudorandom Generators from Pseudorandom Multi-Switching Lemmas.

Rocco A. Servedio, Li-Yang Tan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Cryptography and Data Security被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、2つの基礎的なクラスである $\text{AC}^0$ 回路とスパース $\bbF_2$ 多項式のための最適な擬似乱数生成器（PRG）を、新しい擬似乱数的マルチスイッチング補題を用いて提示する。これらのPRGは、完全なランダムネスから得られる最良の境界と等しいシード長を持つ。これは、さらなる改善が長年の回路下界のブレークスルーを要することを示唆している。

ABSTRACT

We give the best known pseudorandom generators for two touchstone classes in unconditional derandomization: an $\varepsilon$-PRG for the class of size-$M$ depth-$d$ $\mathsf{AC}^0$ circuits with seed length $\log(M)^{d+O(1)}\cdot \log(1/\varepsilon)$, and an $\varepsilon$-PRG for the class of $S$-sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials with seed length $2^{O(\sqrt{\log S})}\cdot \log(1/\varepsilon)$. These results bring the state of the art for unconditional derandomization of these classes into sharp alignment with the state of the art for computational hardness for all parameter settings: improving on the seed lengths of either PRG would require breakthrough progress on longstanding and notorious circuit lower bounds. The key enabling ingredient in our approach is a new \emph{pseudorandom multi-switching lemma}. We derandomize recently-developed \emph{multi}-switching lemmas, which are powerful generalizations of H{\aa}stad's switching lemma that deal with \emph{families} of depth-two circuits. Our pseudorandom multi-switching lemma---a randomness-efficient algorithm for sampling restrictions that simultaneously simplify all circuits in a family---achieves the parameters obtained by the (full randomness) multi-switching lemmas of Impagliazzo, Matthews, and Paturi [IMP12] and H{\aa}stad [H{\aa}s14]. This optimality of our derandomization translates into the optimality (given current circuit lower bounds) of our PRGs for $\mathsf{AC}^0$ and sparse $\mathbb{F}_2$ polynomials.

研究の動機と目的

• 完全なランダムネスにおける計算の下界と、$\text{AC}^0$ 回路およびスパース $\bbF_2$ 多項式の非条件的デランドム化の現状のギャップを埋めること。
• ハスタッドのスイッチング補題を深さ2の回路族に一般化するマルチスイッチング補題のランダムネス効率の良いデランドム化を達成すること。
• 現在の回路下界の仮定に基づいて最適なシード長のPRGを達成し、未証明の仮定に依存しないこと。
• 得られたPRGのシード長を改善することは、長年の回路下界のブレークスルーを要することを示すこと。

提案手法

• すべての回路族を同時に簡略化する制限を効率的にサンプリングする新しい擬似乱数的マルチスイッチング補題を導入する。
• インパリャッチョ、マシュー、パトゥリ [IMP12] およびハスタッド [H\r{a}s14] のマルチスイッチング補題を、ランダムネス効率の良いアルゴリズムでデランドム化する。
• デランドム化されたマルチスイッチング補題をコアコンponentsとして用い、$\text{AC}^0$ 回路およびスパース $\bbF_2$ 多項式のためのPRGを構築する。
• サイズ$M$、深さ$d$の$\text{AC}^0$ 回路に対して、シード長 $\text{poly}(\text{log } M)^{d+O(1)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$ を達成する。スパース$S$の$\bbF_2$ 多項式に対しては、$2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \text{ poly}(\text{log } 1/\rho)$ を達成する。
• PRGのパラメータが、元の完全なランダムネスのマルチスイッチング補題と一致することを保証し、現在の複雑性理論的仮定のもとで最適性を保証する。
• PRGのシード長の最適性が、改善可能であるならば、長年の回路下界のブレークスルーを意味することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なランダムネスから得られる最良の境界と等しいシード長を持つ、$\text{AC}^0$ 回路およびスパース $\bbF_2$ 多項式のための擬似乱数生成器を構築できるか？
• RQ2 深さ2の回路族のためのマルチスイッチング補題（ハスタッドの補題の一般化）を、その漸近的パラメータを保ちながらデランドム化することは可能か？
• RQ3 新しい回路下界の証明なしに、擬似乱数生成器の性能をどの程度まで向上させられるか？
• RQ4 マルチスイッチング補題のデランドム化は、根本的な回路クラスのための最適なPRGを導くことができるか？
• RQ5 PRGのシード長と、これらのクラスにおける回路下界を証明する難易度との間には、どのような関係があるか？

主な発見

• 本稿では、サイズ$M$、深さ$d$の$\text{AC}^0$ 回路に対して、シード長 $\text{log}(M)^{d+O(1)} \times \text{log}(1/\rho)$ の$\rho$-PRGを構築し、完全なランダムネスから得られる最良の境界と一致する。
• スパース$S$の$\bbF_2$ 多項式に対して、シード長 $2^{O(\text{log}^{1/2} S)} \times \text{log}(1/\rho)$ の$\rho$-PRGを構築し、現在の複雑性理論的仮定のもとで最適なパラメータを達成する。
• 擬似乱数的マルチスイッチング補題は、インパリャッチョ、マシュー、パトゥリ [IMP12] およびハスタッド [H\r{a}s14] の元の完全なランダムネスのマルチスイッチング補題と同等の漸近的パラメータを達成する。
• PRGのシード長の最適性が確立された：それらを改善することは、長年の回路下界のブレークスルーを意味する。
• マルチスイッチング補題のデランドム化はランダムネス効率が良く、現在の回路複雑性の枠組みにおいて最適なPRGの構築を可能にする。
• 結果として、両クラスについて、非条件的デランドム化の現状の水準と計算の下界の現状の水準が一致し、長年のギャップが埋まった。