[論文レビュー] Improved q-exponential and q-trigonometric functions

Jan L. Cieśliński|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 3被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、標準的な $q$-指数関数 $e_q^{z/2}$ とその双対 $E_q^{z/2}$ の積として定義される新しい $q$-指数関数 $\mathcal{E}_q^z$ を導入する。この関数は虚軸を単位円に写像する。これにより、有界で、ピタゴラスの恒等式 $\mathcal{C}os_q^2 x + \mathcal{S}in_q^2 x = 1$ を満たす改善された $q$-三角関数 $\mathcal{S}in_q x$ と $\mathcal{C}os_q x$ が得られ、従来の $q$-変形における主要な制限が解消される。

ABSTRACT

We propose a new definition of the q-exponential function. Our q-exponential function maps the imaginary axis into the unit circle and the resulting q-trigonometric functions are bounded and satisfy the Pythagorean identity.

研究の動機と目的

• $q$-微積分における有界で単位円に写像する $q$-指数関数が不足している問題を解決すること。
• 古典的三角関数と類似した性質、特にピタゴラスの恒等式を満たす $q$-三角関数を開発すること。
• ケイリー変換にインspiredされた構成により、$q$-微積分と時刻スケール微積分を統合すること。
• 数学的物理および特殊関数への応用を想定し、$q$-指数関数および $q$-三角関数の定性的な性質を改善すること。

提案手法

• 標準的な $q$-指数関数とその双対を組み合わせることで、新しい $q$-指数関数を $\mathcal{E}_q^z = e_q^{z/2} E_q^{z/2}$ として定義する。
• 無限積表現 $\mathcal{E}_q^z = \prod_{k=0}^\infty \frac{1 + q^k(1-q)\frac{z}{2}}{1 - q^k(1-q)\frac{z}{2}}$ を用いて、正則性および収束性の性質を導出する。
• $q$-階乗 $\{n\}_q! = \frac{[n]_q!}{(1/2)(1 + q^{n-1})^n}$ を導入し、べき級数展開 $\mathcal{E}_q^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\{n\}_q!}$ を定義する。
• $q$-差分作用素を用いて、$q$-微分の恒等式 $D_q \mathcal{E}_q^z = \frac{\mathcal{E}_q^{qz}}{1 + (1-q)\frac{z}{2}}$ を導出する。
• $\mathcal{S}in_q x = \frac{\mathcal{E}_q^{ix} - \mathcal{E}_q^{-ix}}{2i}$ および $\mathcal{C}os_q x = \frac{\mathcal{E}_q^{ix} + \mathcal{E}_q^{-ix}}{2}$ を用いて $q$-三角関数を定義する。
• 単位的性質 $|\mathcal{E}_q^{ix}| = 1$ を用いて、重要な恒等式 $\mathcal{C}os_q^2 x + \mathcal{S}in_q^2 x = 1$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 虚軸を単位円に写像する $q$-指数関数を定義可能か？ これにより $q$-三角関数が有界になる。
• RQ2 古典的ピタゴラスの恒等式 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ を満たす $q$-変形三角関数が存在するか？
• RQ3 ケイリー変換を用いて、より優れた解析的および幾何的性質を有する $q$-指数関数を構成できるか？
• RQ4 既知の恒等式の伝達を可能にするために、新しい $q$-指数関数を標準的な $q$-指数関数の形で表現できるか？

主な発見

• 新しい $q$-指数関数 $\mathcal{E}_q^z$ は虚軸を単位円に写像し、すべての実数 $x$ に対して $|\mathcal{E}_q^{ix}| = 1$ を満たす。
• $q$-三角関数 $\mathcal{S}in_q x$ と $\mathcal{C}os_q x$ は有界であり、すべての実数 $x$ に対して $|\mathcal{S}in_q x| \leq 1$ および $|\mathcal{C}os_q x| \leq 1$ が成り立つ。
• 関数はピタゴラスの恒等式 $\mathcal{C}os_q^2 x + \mathcal{S}in_q^2 x = 1$ を満たすが、これは標準的な $q$-三角関数では満たされない性質である。
• $\mathcal{S}in_q x$ の $q$-微分は $\langle \mathcal{C}os_q x \rangle$、$\mathcal{C}os_q x$ の $q$-微分は $-\langle \mathcal{S}in_q x \rangle$ であり、ここで $\langle f(x) \rangle = \frac{1}{2}(f(qx) + f(x))$ である。
• 新しい $q$-指数関数は $\mathcal{E}_q^z = \mathcal{E}_{1/q}^z$ を満たし、$q \to 1/q$ の下での対称性を保つ。
• べき級数展開 $\mathcal{E}_q^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\{n\}_q!}$ は、$0 < q < 1$ のとき、半径 $R_q = \frac{2}{1-q}$ の円板内で収束する。