[論文レビュー] Improved Quantum Algorithms for Fidelity Estimation

András Gilyén, Alexander Poremba|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、低ランク領域で保証を伴う忠実度推定の新しい量子アルゴリズムを提案し、ブロックエンコーディング、QSVT、スペクトルサンプリングを活用して一般の場合の難易度とサンプル複雑性の下界を証明する。

ABSTRACT

Fidelity is a fundamental measure for the closeness of two quantum states, which is important both from a theoretical and a practical point of view. Yet, in general, it is difficult to give good estimates of fidelity, especially when one works with mixed states over Hilbert spaces of very high dimension. Although, there has been some progress on fidelity estimation, all prior work either requires a large number of identical copies of the relevant states, or relies on unproven heuristics. In this work, we improve on both of these aspects by developing new and efficient quantum algorithms for fidelity estimation with provable performance guarantees in case at least one of the states is approximately low-rank. Our algorithms use advanced quantum linear algebra techniques, such as the quantum singular value transformation, as well as density matrix exponentiation and quantum spectral sampling. As a complementary result, we prove that fidelity estimation to any non-trivial constant additive accuracy is hard in general, by giving a sample complexity lower bound that depends polynomially on the dimension. Moreover, if circuit descriptions for the relevant states are provided, we show that the task is hard for the complexity class called (honest verifier) quantum statistical zero knowledge via a reduction to a closely related result by Watrous.

研究の動機と目的

• 量子状態間の忠実度推定の信頼性の必要性を動機付け、特に高次元の混合状態について示す。
• 低ランク近似仮定の下で証明可能な性能保証を持つ効率的な量子アルゴリズムを開発する。
• 新しいアルゴリズムを既存のアプローチと比較し、一般問題に対する難易度と下限を確立する。

提案手法

• Block-encoding ベースの忠実度推定を用いて、sqrt(rho) sqrt(sigma) に関連する行列の block-encoding を構築するための quantum singular value transformation (QSVT) の利用。
• Hadamard テストと purified access を用いて、rho、sigma、およびそれらの変換の block-encodings を実装・結合する。
• rho の条件付けを抑制し効率的な推定を可能にするための rho_theta のソフト閾値版を導入する。
• 量子スペクトルサンプリングを適用して rho の固有値/固有ベクトルをサンプリングし、Hadamard テストを介して非対角成分を推定する。
• スペクトル推定の固有値を収集するための非一様のクーポン収集分析を開発する。
• purified-access および sampling-access のワークフローを提供し、それぞれの時間/サンプル複雑性を対応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少なくとも一方の状態が概ね低ランクであるとき、忠実度 F(rho, sigma) を効率的に推定できるか。
• RQ2 purified-access モデルと sampling-access モデルにおける忠実度推定の時間/サンプル複雑性はどのようになるか。
• RQ3 一般的に忠実度推定は難しいのか、もしそうならどのフレームワークや難易度クラスの下でか。
• RQ4 rho の切り捨て（ソフト閾値化）が推定精度と資源要件にどう影響するか。
• RQ5 定数精度の忠実度推定に対する現実的なサンプル複雑性の下界は何か。

主な発見

• Block-encoding を用いた忠実度推定アルゴリズムは purified-access モデルで poly(r, 1/ε) の時間とサンプル複雑性を達成する；複雑さは Õ(r^{5/2}/ε^{5})(T_ρ+T_σ) にスケールする（θ/delta のパラメータでさらなる改良）.
• スペクトルサンプリングアルゴリズムは purified-access モデルで ε-近似の忠実度推定を Õ((T_ρ+T_σ)/(θ^{10.5} ε^4 Δ) + T_ρ/(θ^3 min{θ^3 ε, Δ}^3)) の時間で得られ、低ランク領域において truncation の下で有利に振る舞う。
• 本論文は忠実度推定が一般には非自明な定数加法精度で QSZK_HV-hard であることを証明する。
• 系からコピーの複雑性の下界を定めるコロラリと命題：定数精度推定には少なくとも Ω(r/δ) コピーが必要で、特定の設定下でより強い下界が成立する。
• 従来の purified-access アプローチと比較して、block-encoding 法はランクと誤差に対する依存性を改善し、スペクトルサンプリングは低ランクの状況での頑健性を補完的に提供する。
• 著者は同時進行の研究に言及し、実務的な低ランクケースでの truncation の利点を強調する一方で、スペクトルサンプリング法は最悪ケースで遅いものの顕著な利点がある。