[論文レビュー] Improved stochastic trace estimation using mutually unbiased bases

Jack Fitzsimons, Michael A. Osborne+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2016

Blind Source Separation Techniques参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、対称的正半定行列のトレース推定における単一ショットサンプリング分散を著しく低減するために、相互に偏りのない基底（MUBs）を用いた新しい確率的トレース推定法を提案する。MUBsを活用することで、最悪ケースの分散バウンドが $(n-1)/(n+1)\text{Tr}(A^2)$ に抑えられ、$n$ が大きい場合にはハッチンソン推定法やガウス推定法よりも約2倍の性能を達成する。また、1つのプローブベクトルあたり $\mathcal{O}(\log n)$ のランダムビットしか必要としない。

ABSTRACT

We examine the problem of estimating the trace of a matrix $A$ when given access to an oracle which computes $x^\dagger A x$ for an input vector $x$. We make use of the basis vectors from a set of mutually unbiased bases, widely studied in the field of quantum information processing, in the selection of probing vectors $x$. This approach offers a new state of the art single shot sampling variance while requiring only $O(\log(n))$ random bits to generate each vector. This significantly improves on traditional methods such as Hutchinson's and Gaussian estimators in terms of the number of random bits required and worst case sample variance.

研究の動機と目的

• 大規模な行列計算における既存の確率的トレース推定法の高い分散とランダムネスコストを是正すること。
• 特に暗黙的または大規模な行列に対して、トレース推定における最悪ケースの単一ショットサンプリング分散を改善すること。
• プローブベクトル1つあたりに必要なランダムビット数を削減し、ハードウェア実装や並列化環境における効率を高めること。
• 行列の累乗のトレースを用いたグラフにおける三角形数え上げなどの実世界問題において、実用的優位性を示すこと。

提案手法

• 量子情報理論における相互に偏りのない基底（MUBs）を、行列のトレース推定のためのプローブベクトルとして用いる。
• $n$ が素数の累乗である場合、$\mathbb{C}^n$ 内の $n+1$ 個の相互に偏りのない基底の集合からベクトルをサンプリングし、均一な重なり特性を保証する。
• 複素数値のプローブベクトル $\mathbf{x}$ を用い、$\mathbb{E}[\mathbf{x}^\dagger A \mathbf{x}] = \text{Tr}(A)$ を満たすことで、不偏性を維持する。
• 単一ショット分散を $\text{V}_{\text{MUBs}}^{\text{worst}} = \frac{n-1}{n+1}\text{Tr}(A^2)$ として導出。これは固定基底またはハッチンソン推定法よりも厳密にタイトなバウンドであることが保証される。
• MUBベクトルを生成するための $\mathcal{O}(n)$ の効率的構成法を用い、実用的導入を可能にする。
• トレース-トレース恒等式を活用して、$\text{Tr}(A^3)/6$ の計算に推定法を応用し、グラフにおける三角形数え上げに適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存の手法と比較して、相互に偏りのない基底（MUBs）は、確率的トレース推定における最悪ケースの単一ショット分散を低減できるか？
• RQ2 ガウス法やハッチンソン法と比較して、MUBベースの手法におけるプローブベクトル生成に必要なランダムビット数はどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 対称的正半定行列に対して、MUBベースの推定法の理論的最悪ケース分散バウンドは何か？
• RQ4 ハッチンソン法などの古典的手法と比較して、MUBベースの推定法は、大規模グラフにおける三角形数え上げなどの実用的応用で優れた性能を示せるか？
• RQ5 分散性能に妥協を来さずに、MUBベースの手法はランダムネス使用量を著しく削減できるか？

主な発見

• MUBベースの推定法は、最悪ケースの単一ショット分散として $\frac{n-1}{n+1}\text{Tr}(A^2)$ を達成し、任意の固定基底推定法よりも少なくとも $n-1$ 倍の改善が得られる。
• 非正定値行列 $A$ に対しても、$\text{Tr}(A)^2 \geq 0$ の性質により、MUB推定法の最悪ケース分散は $\frac{n}{n+1}\text{Tr}(A^2)$ でバウンドされる。
• ハッチンソン推定法と比較して、MUB法は最悪ケース性能を $\frac{2(n+1)(n-1)}{n^2}$ 倍改善し、$n$ が大きい場合には2に近づく。
• MUB推定法は、1つのプローブベクトルあたり $\mathcal{O}(\log n)$ のランダムビットしか必要とせず、ガウス法やハッチンソン法と比較してランダムネスのオーバーヘッドを顕著に低減する。
• 実世界のグラフに対する数値実験では、MUB推定法はガウス法、ハッチンソン法、ユニットベクトル推定法と比較して、平均絶対相対誤差と分散の両面で優れた性能を示した。
• 本手法は、$\text{Tr}(A^3)/6$ を低誤差かつ少ないランダムネスで効率的に推定できることを示し、グラフにおける三角形数え上げに成功に応用された。