[論文レビュー] Improved Upper Bounds on the Quantum Capacity of the Depolarizing Channel with Higher Dimension Amplitude Damping Channels

Yingkai Ouyang|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、有限の射影ユニタリ群に関して不変な量子チャネルに対して、SmithとSmolinの可解拡張技術を一般化することで、量子チャネルの量子容量に関する上界を改善している。$υ$-twirlされた可解チャネルの量子容量は、$υ$-縮約された入力空間上の最大コherent情報によって上界で抑えられ、$d$次元のデポラライジング、2キュービットの局所的対称性を持つパウリ、およびシフトされたキュービットデポラライジングチャネルに対してより緊密な上界が得られる。

ABSTRACT

Evaluating the quantum capacity of quantum channels is an important but difficult problem, even for channels of low input and output dimension. Smith and Smolin showed that the quantum capacity of the Clifford-twirl of a qubit amplitude damping channel (a qubit depolarizing channel) has a quantum capacity that is at most the coherent information of the qubit amplitude damping channel evaluated on the maximally mixed input state. We restrict our attention to obtaining upper bounds on the quantum capacity using a generalization of Smith and Smolin's degradable extension technique. Given a degradable channel $\mathcal N$ and a finite projective group of unitaries $\mathcal V$, we show that the $\mathcal V$-twirl of $\mathcal N$ has a quantum capacity at most the coherent information of $\mathcal N$ maximized over a $\mathcal V$-contracted space of input states. As a consequence, degradable channels that are covariant with respect to diagonal Pauli matrices have quantum capacities that are their coherent information maximized over just the diagonal input states. As an application of our main result, we supply new upper bounds on the quantum capacity of some unital and non-unital channels -- $d$-dimensional depolarizing channels, two-qubit locally symmetric Pauli channels, and shifted qubit depolarizing channels.

研究の動機と目的

• 量子チャネルの量子容量に関する上界を改善すること、特に高次元および非ユニタルなチャネルに対して。
• SmithとSmolinの可解拡張技術を有限群の対称性を持つチャネルに一般化すること。
• $υ$-twirlされた可解チャネルの量子容量が、制限された入力空間上のコherent情報によって上界で抑えられることを確立すること。
• ユニタルおよび非ユニタルなチャネル、特に$d$次元のデポラライジングおよび2キュービットのパウリチャネルにこのフレームワークを適用すること。

提案手法

• 有限の射影ユニタリ群$υ$に関して不変なチャネルに対して、可解拡張技術の一般化を導入する。
• $υ$-twirlを、群作用の下でのチャネルの平均として定義する。
• 入力状態の$υ$-不変部分空間上の最大コherent情報によって、$υ$-twirlされたチャネルの量子容量が上界で抑えられることを示す。
• 対角パウリ行列に対して不変な可解チャネルについて、量子容量が対角入力状態上のコherent情報の最大値に等しいことを証明する。
• 具体的なチャネルにこの上界を適用し、$d$次元のデポラライジングおよびシフトされたキュービットデポラライジングチャネルに対して新たな上界を導出する。
• チャネルの対称性の構造を活用してコherent情報の最適化空間を縮小し、より緊密な容量推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限群の対称性を持つチャネルに対して、可解拡張技術をどのように一般化することで量子容量の上界を改善できるか？
• RQ2 $υ$-twirlされたチャネルの量子容量と、入力状態の$υ$-不変部分空間上のコherent情報との関係は何か？
• RQ3 対角状態上で最大化されたコherent情報が、パウリ共変可解チャネルの量子容量の上界を提供できるか？
• RQ4 これらの上界は、$d$次元のデポラライジングおよび2キュービットの局所的対称性を持つパウリチャネルに対して、既存の推定値をどの程度緊密にするか？
• RQ5 シフトされたキュービットデポラライジングチャネルなどの非ユニタルチャネルの構造は、一般化された上界の適用性にどのように影響するか？

主な発見

• $υ$-twirlされた可解チャネルの量子容量は、入力状態の$υ$-縮約空間上の最大コherent情報によって上界で抑えられる。
• 対角パウリ行列に対して不変な可解チャネルについて、量子容量は対角入力状態上でのコherent情報の最大値によって上界で抑えられる。
• 本手法により、$d > 2$ の$d$次元デポラライジングチャネルの量子容量に対して、新たなより緊密な上界が得られる。
• 群共変構造とコherent情報の最大化を用いて、2キュービットの局所的対称性を持つパウリチャネルに対しても新たな上界が導出された。
• このフレームワークは非ユニタルチャネル、特にシフトされたキュービットデポラライジングチャネルにも適用可能であり、ユニタルチャネルに限らない上界の適用範囲を拡張した。
• 結果として、群twirlingによる対称性の簡略化が、上界のタイトネスを失うことなく容量最適化問題を著しく単純化することが示された。