[論文レビュー] Improvements on Cantor-Zassenhaus Factorization Algorithm

Michele Elia, Davide Schipani|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上での多項式因数分解の古典的アルゴリズムである Cantor-Zassenhaus アルゴリズムの簡素化および最適化版を提示する。計算コストを低減するために、構造的ランダム多項式を用いる。完全に分解可能な多項式を因数分解するのに必要な試行回数のより鋭い上限を確立した。$\mathbb{F}_{2^m}$ 上では $ O(2^m / 3^t) $、奇数 $p$ に対しては $\mathbb{F}_{p^m}$ 上では $ O(p^m / 2^t) $ であり、確率的および決定的成否率の推定を両方改善した。

ABSTRACT

After revisiting Cantor-Zassenhaus polynomial factorization algorithm, we describe a new simplified version of it, which requires less computational cost. Moreover we show that it is able to find a factor of a fully splitting polynomial of degree $t$ over $\mathbb F_{2^m}$ with $O(\frac{2^m}{3^{t}})$ attempts and over $\mathbb F_{p^m}$ for odd $p$ with $O(\frac{p^m}{2^{t}})$ attempts.

研究の動機と目的

• 古典的な Cantor-Zassenhaus 因数分解アルゴリズムの計算コストを簡素化・低減すること。
• $\mathbb{F}_{2^m}$ および $\mathbb{F}_{p^m}$ 上で完全に分解可能な多項式を因数分解するのに必要な試行回数のより鋭い上限を導出すること。
• アルゴリズムの決定的成否閾値を確立し、1回または2回の試行で因数分解に成功する最小の次数 $t$ を特定すること。
• 文字和推定および対称関数の境界を用いて、確率的成否率分析を改善すること。

提案手法

• 任意のランダム選択を減らすために、$c(z) = z$ および $c(z) = z + \beta$（$\beta \neq 0$ でランダム）をテスト多項式として提案する。
• 根の単位根を活用し、$a(z) = c(z)^{\ell_m} \mod \sigma(z)$ を用いたモジュラー累乗を適用する。ここで $\ell_m = (p^m - 1)/k$ であり、$k=3$（$p=2$）または $k=2$（$p>2$）である。
• 文字和技法および対称関数の境界を用いて、特に $N_p(r)$ および $N_2(r)$ の成功試行回数を推定する。
• ガウス和および直交性関係を用いて、2回試行における決定的境界の最大失敗回数 $M$ を計算する。
• [16, 定理 2C’] を用いて、文字和の境界と文字の初等対称関数を用いて $N_p(r)$ および $N_2(r)$ の境界を導出する。
• 乗法群の2つのコセットからの要素の和として表される $\beta \neq 0$ の最大表現回数を計算することで、最悪ケースの試行回数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に分解可能な次数 $t$ の多項式を $\mathbb{F}_{2^m}$ 上で因数分解するのに、保証される最小の試行回数は何か？
• RQ2 Cantor-Zassenhaus アルゴリズムは、正しさを保ちつつ計算コストを低減するためにどのように簡素化できるか？
• RQ3 アルゴリズムの正確な確率的成否率は何か？ また、$t$ と $m$ にどのように依存するか？
• RQ4 最大で $M$ 回の試行まで失敗する可能性がある多項式の次数 $t = 1 + M$ は何か？ 2回の試行で失敗する可能性がある最大の $M$ は何か？
• RQ5 文字和推定および対称関数解析を用いて、因数分解の成功に関する決定的境界を導出できるか？

主な発見

• $\mathbb{F}_{2^m}$ 上で完全に分解可能な次数 $t$ の多項式を因数分解するにあたり、必要な試行回数は $O(2^m / 3^t)$ で抑えられ、従来の推定を改善した。
• 奇数 $p$ に対しては、試行回数は $O(p^m / 2^t)$ で抑えられ、文字和および対称関数解析を用いて導出された。
• 決定的境界 $t_0(1) = \ell_m + 1$ は、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上で $\ell_m = (2^m - 1)/3$ より大きい次数の任意の多項式に対して1回の試行で成功を保証する。
• 2回の試行の場合、最大失敗回数 $M$ は、$m/2$ が偶数のとき $\frac{1}{9}(2^m + 2^{m/2} - 2)$、奇数のとき $\frac{1}{9}(2^m + 2^{m/2+1} + 1)$ であり、$t_0(2) = 1 + M$ となる。
• 奇数 $p$ に対しては、$p \equiv 1 \pmod{4}$ のとき $t_0(2)$ は $1 + \frac{1}{4}(p^m - 1)$、$p \equiv 3 \pmod{4}$ かつ $m$ が奇数のとき $1 + \frac{1}{4}(p^m + 1)$ である。
• 解析により、$r \ll \frac{m}{2} \log_2 p$ のとき、確率的推定 $N_p(r) \simeq p^m / 2^{r-1}$ が成り立つことが確認され、ヒューリスティックな成否率が妥当であることが裏付けられた。