[論文レビュー] Improvements to the number field sieve for non-prime finite fields

Razvan Barbulescu, Pierrick Gaudry+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2014

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、中程度から大規模な特徴を持つ非素数有限体における離散対数計算のための数体篩（NFS）を改善し、一般化されたJoux-Lercier法と共役法の2つの新しい多項式選択手法を導入することで、理論的計算量を $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$ にまで低下させ、80桁の素数 $p$ を持つ $\mathbb{F}_{p^2}$ における実用的記録計算を実現した。

ABSTRACT

We propose various strategies for improving the computation of discrete logarithms in non-prime fields of medium to large characteristic using the Number Field Sieve. This includes new methods for selecting the polynomials; the use of explicit automorphisms; explicit computations in the number fields; and prediction that some units have a zero virtual logarithm. On the theoretical side, we obtain a new complexity bound of $L_{p^n}(1/3,\sqrt[3]{96/9})$ in the medium characteristic case. On the practical side, we computed discrete logarithms in $F_{p^2}$ for a prime number $p$ with $80$ decimal digits.Warning: This unpublished version contains some inexact statements.

研究の動機と目的

• 中程度および大規模な特徴を持つ非素数有限体における離散対数計算の効率を向上させること。
• 特にペairリング暗号に関連する大特徴の非素数体におけるNFS変種の実用的実装の不足に対処すること。
• 滑らかさのテストに必要なノルムを削減する新しい多項式選択戦略の開発により、NFSの理論的および実用的計算量を改善すること。
• 80桁の $p$ を持つ $\mathbb{F}_{p^2}$ における実用的記録計算を実施し、理論的改善の妥当性を検証すること。
• CADO-NFSを用いた包括的な実装パイプライン（関係収集、Galois作用を用いたフィルタリング、GPU加速線形代数）の提供。

提案手法

• ノルムのサイズと滑らかさ確率の向上を図る、一般化されたJoux-Lercier法による多項式選択の提案。
• 明示的な自己同型を用いてノルムを小さくし、Schirokauer写像の必要性を低減する共役法の導入。
• スイーピング段階で特殊-\mathfrak{q} 技法を採用し、$g$-側からの大きなノルムに焦点を当てて関係収集を最適化。
• フィルタリング段階でGalois作用を適用し、$x \mapsto x^{-1}$ による軌道代表元を選択することで行列サイズを縮小、符号情報の保持を維持。
• JeljeliのGPU最適化ブロックWiedemann法を用いてスパース線形代数を実行し、適切に選ばれた多項式によりSchirokauer写像を回避。
• ラティススイーピングと特殊-q降下法を用いて個々の対数計算を実施し、小さな素数上の2次イデアルの取り扱いも含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しい多項式選択技法は、非素数有限体におけるNFSのノルムサイズを小さくし、滑らかさ確率を向上させることができるか？
• RQ2 共役法または一般化されたJoux-Lercier法を用いた場合、中特徴の非素数体におけるNFSの理論的計算量はどのようになるか？
• RQ3 理論的計算量の改善は、特に $\mathbb{F}_{p^2}$ のような大特徴の体において実用的に実現可能か？
• RQ4 明示的な自己同型とGalois不変フィルタリングの使用は、NFS全体の性能と行列サイズにどのような影響を与えるか？
• RQ5 80桁の $p$ を持つ $\mathbb{F}_{p^2}$ において、最適化されたNFSパイプラインを用いて離散対数を計算することは可能か？

主な発見

• 共役法は、中特徴有限体において理論的計算量 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{96/9})$ を達成し、以前の境界 $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{128/9})$ および $L_{p^n}(1/3, \sqrt[3]{2^{13}/3^6})$ を上回った。
• 80桁の $p$ を持つ $\mathbb{F}_{p^2}$ における実用的離散対数計算が成功裏に実行され、大特徴の非素数体における記録を更新した。
• 関係収集段階で約1500万の関係が得られ、1つのIntel Xeon E5-2650コアで約68コア日で完了した。
• フィルタリング段階ではGalois対称性を活用し、行列を839,244行839,244列に縮小し、1行あたりの非ゼロ要素の平均が83.6となった。
• 線形代数段階は、非ブロッキングブロックWiedemann実装を用い、1台のNVIDIA GTX 680 GPUで30.3時間で完了した。
• 最終的な個々の対数計算は、ラティススイーピングと特殊-q降下法を用い、数分で完了し、$\log_G(s) = 431724646474717499532141432099069517832607980262114471597315861099398586114668 \mod \ell$ を得た。