[論文レビュー] Improving Fast Dual Ascent for MPC - Part II: The Embedded Case

Pontus Giselsson|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Advanced Control Systems Optimization参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、負の双対関数の非一様な二次上界を用いることで、問題の方向性に応じた曲率を調整することにより収束を改善する、埋め込みモデル予測制御（MPC）向けの一般化された高速双対勾配法を提案する。主な貢献は、このような上界を定義するための有効な行列の特徴付けであり、これにより、AFTI-16機体モデルのような悪条件なMPC問題において、標準的な高速双対昇降法やADMM手法と比較して、収束が最大3桁速くなる。

ABSTRACT

Recently, several authors have suggested the use of first order methods, such as fast dual ascent and the alternating direction method of multipliers, for embedded model predictive control. The main reason is that they can be implemented using simple arithmetic operations only. However, a known limitation of gradient-based methods is that they are sensitive to ill-conditioning of the problem data. In this paper, we present a fast dual gradient method for which the sensitivity to ill-conditioning is greatly reduced. This is achieved by approximating the negative dual function with a quadratic upper bound with different curvature in different directions in the algorithm, as opposed to having the same curvature in all directions as in standard fast gradient methods. The main contribution of this paper is a characterization of the set of matrices that can be used to form such a quadratic upper bound to the negative dual function. We also describe how to choose a matrix from this set to get an improved approximation of the dual function, especially if it is ill-conditioned, compared to the approximation used in standard fast dual gradient methods. This can give a significantly improved performance as illustrated by a numerical evaluation on an ill-conditioned AFTI-16 aircraft model.

研究の動機と目的

• 均一な曲率を持つ二次近似による、悪条件なMPC問題における標準的高速双対昇降法の収束不良を解消すること。
• 埋め込みMPCにおける負の双対関数をよりよく近似するため、曲率を変化させる二次上界を用いる手法の開発。
• 負の双対関数に対する有効な二次上界を定義する行列の集合を特徴付けること。
• オンラインでの実時間MPC性能を向上させるために、問題固有の行列を事前計算可能にする。
• 挑戦的な悪条件な航空機制御問題において、最先端のソルバーよりも優れた実行時間と収束性能を示すこと。

提案手法

• 標準的な高速双対勾配法を一般化し、異なる方向に異なる曲率を持つ負の双対関数の二次上界を最小化することで、一様な曲率ではなく方向に依存する曲率を用いる。
• 上界がグローバルに有効であることを保証するための行列形式を導入し、有効な行列の集合から曲率行列を選択する。
• 問題の悪条件性を反映させるために、ヘッセ行列や制約行列などの問題データを用いて、事前計算で曲率行列を算出する。
• 収束を保証するためのラインサーチまたはバックトラッキングを用いた修正された双対昇降スキームを採用し、問題の構造に適合した更新を行う。
• 2つのバリアントを提案：等式制約付きMPCには行列 $\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$ を、ソフト制約付き問題には $\mathbf{L}_\mu$ を使用。
• C言語によるコード生成を用いて実装し、最小限のオンライン計算で効率的な埋め込みデプロイを実現。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方向性に応じた変化する曲率を持つ非一様二次上界は、MPCにおける高速双対勾配法の収束を改善できるか？
• RQ2 負の双対関数に対する有効な二次上界を定義する行列の集合の数学的特徴付けは何か？
• RQ3 問題固有の曲率行列を事前計算することで、埋め込みMPCにおけるオンライン性能をどのように向上できるか？
• RQ4 悪条件なMPC問題において、提案手法は標準的高速双対昇降法やADMMを上回る収束速度と実行時間を持つか？
• RQ5 本手法は、MPC定式化におけるハード制約とソフト制約の両方を扱えるように一般化可能か？

主な発見

• Richterら（2013）の標準的高速双対昇降法と比較して、$\mathbf{L}_\lambda = A H^{-1} A^T$ を用いた本手法は、実行時間を3桁以上短縮した。
• Section 6で示される $\mathbf{L}_\mu$ を用いたアルゴリズム（$P = H^{-1}$ として）は、平均実行時間が0.061 msに達し、PatrinosとBemporad（2014）を1〜2桁速く上回った。
• C言語にコンパイルした本手法のバージョンは、MATLAB版と比較して20倍以上高速であり、平均実行時間は0.1 ms未満であった。
• 最適な $\rho = 3$ を用いたADMMと比較して、本手法はより速い収束を達成し、非最適な $\rho$ 選択の場合のADMMと比較して最大2桁速かった。
• 一般用途の商用QPソルバMOSEKを1桁以上上回り、特殊化されたFORCESコードジェネレータよりも2〜3倍速かった。
• AFTI-16機体モデルを用いた数値評価により、改善された双対近似が悪条件なMPC問題における性能を顕著に向上させることを確認した。