[論文レビュー] Improving Kaufman's exceptional set estimate for packing dimension

Tuomas Orponen|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、平面における直交投影の例外的方角のハウスドルフ次元に関する Kaufman の 1968 年の評価を改善し、任意のボレル集合 $K \subset \mathbb{R}^2$ に対して $\mathcal{H}^1(K) > 0$ かつ $0 < s < 1$ のとき、$\pi_e(K)$ のパッキング次元が $s$ 以下であるような $S^1$ 内の方向 $e$ の集合のハウスドルフ次元が、ある $\epsilon(s) > 0$ に対して $s - \epsilon(s)$ 以下であることを証明する。この結果は、離散化された投影と $\delta$-ネットに基づく新しい幾何学的・解析的技法を導入することで、Kaufman の元々の推定値に対する定量的な改善を達成する。

ABSTRACT

Given $0 &lt; s &lt; 1$, I prove that there exists a constant $ε= ε(s) &gt; 0$ such that the following holds. Let $K \subset \mathbb{R}^{2}$ be a Borel set with $\mathcal{H}^{1}(K) &gt; 0$, and let $E_{s}(K) \subset S^{1}$ be the collection of unit vectors $e$ such that $$\dim_{\mathrm{p}} π_{e}(K) \leq s.$$ Then $\dim_{\mathrm{H}} E_{s}(K) \leq s - ε$.

研究の動機と目的

• Kaufman の 1968 年の結果 $\dim_H\{e \in S^1 : \dim_H \pi_e(K) < s\} \leq s$ を、$\dim_H K \geq s$ のもとで改善し、例外的集合の次元に厳密な改善を示すこと。
• Borel 集合 $K \subset \mathbb{R}^2$ に対して、正の $\mathcal{H}^1$-測度をもつ場合に、$\dim_H E_s(K) \leq s - \epsilon(s)$ を満たす正の $\epsilon(s) > 0$ のギャップを確立すること。
• パッキング次元の設定に適応可能な新しい手法を提供し、フラクタル幾何における既知の投影定理の適用範囲を拡張すること。
• $\dim_H K \geq t > s$ のもとで $\dim_H\{e : \dim_H \pi_e(K) < s\} \leq 2s - t$ という広範な予想に貢献するため、$t = 1$ の場合に非自明な改善を示すこと。

提案手法

• 集合 $F^\prime$ の投影のサイズを分析するために、$\delta$-ネットと $\delta$-分離集合を用いて投影問題の $\delta$-離散化版を構築する。
• $F^\prime$ を水平方向の拡大変換により、スケール $\delta^{1/2}$ での投影の挙動が命題 3.1 の適用に適する新しい集合 $F$ に変換する。
• 投影をパrametrization $\pi_t(x,y) = x + ty$ を用いてスロープパラメータ $t$ の関数として再表現し、角度の区間をスロープ値の区間に変換する。
• スロープ値の $\delta^{1/2}$-区間における $N(\pi_t(F), \delta^{1/2}) \lesssim \delta^{-s/2}$ という主要な推定を適用し、投影の数が小さいまま保たれることを示す。
• $\tilde{E}_{\delta^{1/2}}$ であるスロープの集合が、サイズ $\sim \delta^{-s/2}$ の $(\delta^{1/2}, s)$-集合であることを確立し、命題 3.1 の仮定を満たす。
• 命題 3.1 の結論に反する投影サイズの推定が導かれることにより、矛盾を示し、背理法によって主結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kaufman の例外的集合の評価 $\dim_H\{e : \dim_H \pi_e(K) < s\} \leq s$ は、$\dim_H K \geq 1$ のもとで、$\dim_H E_s(K) \leq s - \epsilon(s)$ に改善可能か？
• RQ2 すべての $s$ に対して一様なギャップ $\epsilon(s) > 0$ が存在し、小規模なパッキング次元の投影を持つ方向の集合のハウスドルフ次元が、$s$ よりも厳密に小さいか？
• RQ3 離散化された投影法を $\delta$-ネットと $\delta$-分離集合の設定で用いることで、投影定理における定量的改善を導く矛盾を導けるか？
• RQ4 多くの方向で小さな投影を持つ集合 $F^\prime$ を構成し、その後に拡大変換を施すことで、命題 3.1 の仮定のもとで矛盾が生じるか？

主な発見

• 任意の $0 < s < 1$ に対して、$\epsilon(s) > 0$ が存在し、$\mathcal{H}^1(K) > 0$ を満たすすべてのボレル集合 $K \subset \mathbb{R}^2$ に対して $\dim_H E_s(K) \leq s - \epsilon(s)$ が成り立つ。ここで $E_s(K)$ は $\dim_p \pi_e(K) \leq s$ を満たす方向 $e$ の集合である。
• 改善は厳密である：例外的集合のハウスドルフ次元は、Kaufman の元々の評価と同様に $\leq s$ ではなく、$s$ よりも厳密に小さい。
• 証明は、多くの方向で小さな投影を持つ集合 $F^\prime$ を構築し、その後に拡大変換を施して既知の投影推定に反する状況を生じさせる背理法に依存する。
• スロープ $t$ の $\delta^{1/2}$-区間において、$N(\pi_t(F), \delta^{1/2}) \lesssim \delta^{-s/2}$ という主要な推定が成り立ち、これは命題 3.1 の仮定と矛盾するため、矛盾が生じる。
• この結果はすべての $s \in (0,1)$ に対して一様に成り立ち、$\epsilon(s)$-ギャップは正であるが、論文では $\epsilon(s)$ の明示的な式は提供しない。