[論文レビュー] Improving Lower Bounds for the Quadratic Assignment Problem by applying a Distributed Dual Ascent Algorithm

Alexandre Domingues Gonçalves, Lúcia M. A. Drummond+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2013

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、リフォーミュレーション線形化技術（RLT3）に基づく分散デュアルアセント法を提案し、順方向RLT3ソルバのメモリ制限を超えて、割当問題（QAP）のより厳密な下界を計算する。IntelMPIを用いて256台のホストから構成されるクラスタ上で計算を分散化することで、28個のQAPインスタンスのうち26個でこれまでで最も良い下界を達成し、そのうち18個で最適解に到達した。また、従来は解けなかったサイズN=30のインスタンスを初めて解けるようになった。

ABSTRACT

The application of the Reformulation Linearization Technique (RLT) to the Quadratic Assignment Problem (QAP) leads to a tight linear relaxation with huge dimensions that is hard to solve. Previous works found in the literature show that these relaxations combined with branch-and-bound algorithms belong to the state-of-the-art of exact methods for the QAP. For the level 3 RLT (RLT3), using this relaxation is prohibitive in conventional machines for instances with more than 22 locations due to memory limitations. This paper presents a distributed version of a dual ascent algorithm for the RLT3 QAP relaxation that approximately solves it for instances with up to 30 locations for the first time. Although, basically, the distributed algorithm has been implemented on top of its sequential conterpart, some changes, which improved not only the parallel performance but also the quality of solutions, were proposed here. When compared to other lower bounding methods found in the literature, our algorithm generates the best known lower bounds for 26 out of the 28 tested instances, reaching the optimal solution in 18 of them.

研究の動機と目的

• 大規模なQAPインスタンスに対して、順方向RLT3に基づくデュアルアセント法のメモリおよび計算制限を克服すること。
• 従来のマシンでは25地点を超える場合にメモリ制限により失敗するが、RLT3緩和の適用範囲をそれらを超えて拡張すること。
• 順方向手法よりも性能と解の質を向上させるスケーラブルな分散実装を開発すること。
• N=30までのQAPインスタンスに対して、より厳密な下界を計算し、正確な分枝限定法を支援すること。

提案手法

• 本手法は、Hahnら（2012）の順方向デュアルアセント法を、256台のホストから構成されるクラスタとIntelMPIを用いたプロセス間通信により分散版に拡張したものである。
• 各ホストは1つのプロセスを実行し、ノードごとの利用可能なRAMをすべて活用することで、メモリ競合を回避し、局所的計算効率を最大化する。
• アルゴリズムは、QAPのRLT3緩和にデュアルアセントを適用する。これは多項式再定式化と変数置換を用いて高次元の線形プログラミング緩和を生成する。
• 順方向コードに対する主な変更点として、収束性と解の質を向上させるために、強化されたデュアル変数更新および分散メモリ用の分解戦略が導入されている。
• 実装はC++とIntelMPIを用い、各インスタンスについて約3日間の時間制限内に300イタレーションまたは最適解に到達した時点で終了する。
• 本手法は、割当制約、補完性制約、および高次積置換（例：x_ij x_kn のための y_ijkn、x_ij x_kn x_pq のための z_ijknpq）を含むRLT3定式化の構造を活用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のマシンのメモリ制限を超えて、分散デュアルアセント法がRLT3緩和のQAPを効果的に解くことができるか？
• RQ2 分散RLT3デュアルアセント法の性能と解の質は、順方向法や他の下界計算手法と比べてどの程度優れているか？
• RQ3 大規模なQAPインスタンス（N ≥ 28）に対して、分散アルゴリズムが最適解または近似最適解にどの程度到達できるか？
• RQ4 順方向RLT3デュアルアセントをクラスタ環境にスケーリングするにあたり、解の質を向上させるために必要なアーキテクチャ的およびアルゴリズム的変更は何か？

主な発見

• 分散アルゴリズムは、テストした28個のQAPインスタンスのうち26個で、これまでで最も良い下界を達成し、従来の手法を著しく上回った。
• 18個のインスタンスでは、結果に最適性ギャップがゼロであったことから、最適解に到達した。
• 本手法は、従来のメモリ制限を超えて、QAPインスタンスN=28およびN=30のRLT3緩和を初めて解くことに成功した。
• 最大のインスタンスでは、最大100台のホストを用いて100倍のスループット向上を達成し、1インスタンスあたり3日以内の実行時間で完了した。
• 分散実装は、順方向バージョンよりも解の質を向上させ、特にnug30やtho30といった難易度の高いインスタンスでは、ギャップが最大5.78%まで縮小された。
• 従来のメモリ制限により順方向バージョンが実行できなかったインスタンスに対しても、分散アプローチにより、かつて不可能だった計算が可能になった。