[論文レビュー] Improving upon Maximum Independent Set by five orders of magnitude

Marcel Wild|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2009

Image and Object Detection Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、グラフにおける最大独立集合を求める最適化されたアルゴリズムを提示している。Mathematicaの組み込み関数MaximumIndependentSetに比べ、100,000倍の高速化を達成した。独自にカスタマイズされた反クリーク列挙手法を活用することで、ランダムな(45, 92)-グラフにおいて、最大反クリーク（独立集合）のサイズ21を1.344秒で計算可能であり、標準的なコマンドでは155,838秒を要する。

ABSTRACT

Several algorithms are presented. The standard algorithm generates all N anticliques of a graph with v vertices in time O(Nv 2). It can be adapted to e.g. generate all maximum cardinality anticliques, or just one maximum anticlique. The latter is our main achievement and was programmed using the Mathematica 6.0 code. For a random (45, 92)-graph G a maximum anticlique of size 21 was found in 1.344 sec, whereas the “hardwired” command MaximumIndependentSet[G] clocked in at 155838 sec, which is five orders of magnitude slower.

研究の動機と目的

• グラフにおける最大独立集合を計算するより高速なアルゴリズムの開発を目的とする。
• MathematicaのMaximumIndependentSetのような一般的なソルバーの非効率性を克服することを目的とする。
• 中程度のサイズのランダムグラフインスタンスにおいて顕著な性能向上を示すこと。

提案手法

• アルゴリズムは、最適化された列挙戦略を用いて、グラフ内のすべての反クリーク（独立集合）を生成する。
• 計算の無駄を減らすために、最大基数の反クリークにのみ焦点を当てたアプローチを採用している。
• Mathematica 6.0で実装されており、その記号計算能力を活用している。
• 列挙中に有望でない分岐を pruning することで、全探索を回避している。
• 最大集合のための早期終了を伴う再帰的バックトラッキングメカニズムを用いている。
• 入力グラフの構造的性質を活用するように実装が最適化されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カスタムアルゴリズムは、組み込みソルバーを上回る性能を示せるか？
• RQ2 反クリーク列挙のターゲット最適化によって、どの程度の性能向上が達成可能か？
• RQ3 中程度のサイズのランダムグラフにおいて、アルゴリズムはどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、(45, 92)-グラフにおいて最大反クリーク（サイズ21）を1.344秒で発見した。
• Mathematicaの組み込みMaximumIndependentSetコマンドは、同じタスクに155,838秒を要した。
• 新規手法は、標準実装に比べて約115,800倍速い。
• 性能向上は5桁の向上を示している。
• 一般用途ソルバーに比べ、カスタム最適化の有効性が実証された。
• アルゴリズムは45頂点・92辺のグラフに対しても正常にスケーリングした。