[論文レビュー] Impulse Control in Finance: Numerical Methods and Viscosity Solutions

Parsiad Azimzadeh|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 83被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ファイナンス分野におけるインパulse制御問題に生じるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン準変分不等式（HJBQVI）を解くための、証明可能に収束する数値的手法を開発する。本手法は、弱く連結された対角優勢（w.c.d.d.）行列を用いたポリシー反復法と、バールーズ＝スーガニディスの収束理論を非局所PDEに拡張したものである。主な貢献は、非局所HJBQVIに適用可能な単調性、安定性、一貫性を持つスキームの収束フレームワークを確立し、為替レート最適制御、取引コストを伴う消費、および変動年金の保証最低引き出し利益といった応用事例によって検証している。

ABSTRACT

The goal of this thesis is to provide efficient and provably convergent numerical methods for solving partial differential equations (PDEs) coming from impulse control problems motivated by finance. Impulses, which are controlled jumps in a stochastic process, are used to model realistic features in financial problems which cannot be captured by ordinary stochastic controls. The dynamic programming equations associated with impulse control problems are Hamilton-Jacobi-Bellman quasi-variational inequalities (HJBQVIs) Other than in certain special cases, the numerical schemes that come from the discretization of HJBQVIs take the form of complicated nonlinear matrix equations also known as Bellman problems. We prove that a policy iteration algorithm can be used to compute their solutions. In order to do so, we employ the theory of weakly chained diagonally dominant (w.c.d.d.) matrices. As a byproduct of our analysis, we obtain some new results regarding a particular family of Markov decision processes which can be thought of as impulse control problems on a discrete state space and the relationship between w.c.d.d. matrices and M-matrices. Since HJBQVIs are nonlocal PDEs, we are unable to directly use the seminal result of Barles and Souganidis (concerning the convergence of monotone, stable, and consistent numerical schemes to the viscosity solution) to prove the convergence of our schemes. We address this issue by extending the work of Barles and Souganidis to nonlocal PDEs in a manner general enough to apply to HJBQVIs. We apply our schemes to compute the solutions of various classical problems from finance concerning optimal control of the exchange rate, optimal consumption with fixed and proportional transaction costs, and guaranteed minimum withdrawal benefits in variable annuities.

研究の動機と目的

• ファイナンス分野のインパulse制御問題に生じるハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン準変分不等式（HJBQVI）を解くための、効率的かつ証明可能に収束する数値的手法の開発。
• バールーズ＝スーガニディスの枠組みをHJBQVIに拡張し、非局所PDEに対して単調性、安定性、一貫性を持つ数値スキームの収束を確立すること。
• 固定および比例取引コストを伴う古典的ファイナンス問題、為替レート最適制御、および変動年金における保証最低引き出し利益に、提案されたスキームを適用すること。
• w.c.d.d.行列とM行列を用いた、HJBQVI離散化から生じるベルマン問題の構造を分析すること。
• 行列理論およびバニシティ解の概念を活用して、HJBQVIスキームに対するポリシー反復の収束を証明すること。

提案手法

• HJBQVI離散化から得られる非線形行列方程式（ベルマン問題）を、弱く連結された対角優勢（w.c.d.d.）行列理論を用いて収束保証付きで解くポリシー反復を採用する。
• 直接制御スキームとペナルティスキームの2つの数値スキームを導入し、HJBQVI離散化における単調性と安定性を維持するように設計する。
• 非局所2階PDEに一般化されたバールーズ＝スーガニディス収束定理を、非局所的一致性および安定性条件を導入することで拡張する。
• 標準ステンシルを用いた均等グリッド上の有限差分法を採用し、インパルス制御をモデル化するための干渉作用素を組み込む。
• スキームの性質を詳細に分析することで、有限時限および無限時限（定常状態）の両ケースに対して収束を確立する。
• 離散状態空間上のマルコフ意思決定過程に理論を適用し、w.c.d.d.行列とM行列の関係、および解の一意性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HJBQVI離散化から生じる非線形行列方程式に対して、ポリシー反復が厳密に収束することが証明可能か？
• RQ2 バールーズとスーガニディスの収束理論を、HJBQVIのような非局所PDEに拡張するにはどうすればよいか？
• RQ3 非局所HJBQVIの数値スキームの単調性、安定性、一貫性を保証する条件は何か？
• RQ4 w.c.d.d.行列とM行列は、離散状態空間上でのインパルス制御問題におけるベルマン問題の構造とどのように関係するか？
• RQ5 提案された数値スキームの収束速度は何か？また、ベンチマークファイナンス問題においてどのように性能を発揮するか？

主な発見

• HJBQVI離散化から生じるベルマン問題に対して、弱く連結された対角優勢行列理論を用いて、ポリシー反復がグローバルに収束することが証明された。
• バールーズ＝スーガニディス理論を拡張することで、非局所PDEに対する新しい収束フレームワークを確立し、単調性、安定性、非局所的一致性を持つスキームがバニシティ解に収束することを証明した。
• 直接制御スキームとペナルティスキームの両方が、単調性、安定性、非局所的一致性を満たしており、HJBQVIのバニシティ解への収束を保証している。
• 数値実験では、収束速度が非線形超線形であることが観察され、ペナルティスキームは全テストケースで安定した性能を示した。
• 本手法は、為替レート最適制御、固定および比例取引コストを伴う消費、および変動年金における保証最低引き出し利益の最適解を効果的に計算できた。
• w.c.d.d.行列とM行列の間の新たな関係が確立され、インパルス制御をモデル化するマルコフ意思決定過程の解の一意性および可解性に影響を与えるものとなった。