[論文レビュー] In an expanding universe, what doesn't expand?

Richard H. Price, Joseph D. Romano|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2005

Relativity and Gravitational Theory被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、ニュートン力学的および相対論的モデルを用いて、古典的水素様原子が宇宙の膨張とともに拡大するかどうかを調査している。境界系は、宇宙背景に完全に従って拡大するか、まったく影響を受けないかのどちらかであり、部分的な拡大はなく、これは原子の束縛力と宇宙の膨張力の競合によって説明できる。

ABSTRACT

The expansion of the universe is often viewed as a uniform stretching of space that would affect compact objects, atoms and stars, as well as the separation of galaxies. One usually hears that bound systems do not take part in the general expansion, but a much more subtle question is whether bound systems expand partially. In this paper, a very definitive answer is given for a very simple system: a classical "atom" bound by electrical attraction. With a mathemical description appropriate for undergraduate physics majors, we show that this bound system either completely follows the cosmological expansion, or -- after initial transients -- completely ignores it. This "all or nothing" behavior can be understood with techniques of junior-level mechanics. Lastly, the simple description is shown to be a justifiable approximation of the relativistically correct formulation of the problem.

研究の動機と目的

• 束縛系（例：原子）が宇宙とともに膨張するかという長年の疑問を解決すること。
• 束縛系が宇宙の伸びによって部分的に拡大するという誤解を解き明かすこと。
• 問題の本質的な物理を捉えることのできる、古典力学に基づく明快でアクセスしやすいモデルを提供すること。
• 非相対論的原子に対して、古典的モデルを相対論的定式化と照合し、その妥当性を示すこと。
• 宇宙とともに拡大する自由粒子の原子において、相対論的効果が減少することを示し、束縛系の安定性を強化すること。

提案手法

• 点状の核と、クーロン力で束縛された軽い電子からなる古典的原子を、宇宙的に膨張する空間にモデル化する。
• 物理座標（r, θ, φ）を適切な距離、および空間の膨張に固定された共動座標（R, θ, φ）の2つの座標系を導入する。
• ニュートン力学において、宇宙の膨張が軌道半径 r(t) に与える効果をモデル化するためのヒューリスティックな「引き伸ばし力」を導入する。
• a(t) で支配される微分方程式 r(t) を用いて系を解析し、指数関数的およびべき乗則的膨張のケースを検討する。
• 一般相対性理論と曲がった時空におけるマクスウェル電磁力学を用いた完全な相対論的扱いと比較する。
• 数値シミュレーションを用いて、拡大する自由原子における電子の速度および相対論的因子（U⁰/c）の時間発展を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 束縛原子系は、宇宙の膨張に部分的に従って拡大するのか、それとも影響を受けないのか？
• RQ2 宇宙の膨張において、原子が完全に拡大するか、安定を保つかは、何によって決まるのか？
• RQ3 クーロン束縛力と宇宙の膨張力の競合が、時間経過とともに軌道半径にどのように影響するか？
• RQ4 非相対論的古典的モデルは、宇宙の膨張する宇宙における原子の挙動を正確に記述できるか？
• RQ5 自由原子が宇宙とともに拡大する際、相対論的効果は増加するか、減少するか？

主な発見

• 原子は、宇宙とともに完全に拡大する（R が一定）か、影響を受けない（r が束縛されたまま）のどちらかであり、中間の挙動はなく、「すべてかまったくか」の効果である。
• 拡大と非拡大の遷移は、初期の原子の束縛力と宇宙の膨張力の比に依存する。
• 一般的な原子では、原子の時間スケール T_atom ≈ 10⁻¹⁶ s が、宇宙の膨張時間スケール T_exp ≈ 4×10¹⁷ s よりもはるかに短いため、原子は宇宙の膨張に対して安定である。
• 自由原子が宇宙とともに拡大する場合、相対論的因子 U⁰/c は時間とともに減少し、原子が拡大するにつれて相対論的効果が小さくなることが示された。
• ヒューリスティックな引き伸ばし力を持つニュートンモデルは、本質的な物理を正確に捉えており、非相対論的初期条件では相対論的定式化と一致する。
• 系には動的不安定性が存在する：初期に膨張が支配的であれば、原子は無限に拡大し続けるが、束縛力が支配的であれば、膨張は抑制され、軌道は安定化する。