[論文レビュー] In search of conformal theories

Abhijit Gadde|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、群論的手法を用いて、共形対称性が明示的になるように共形交差方程式を再定式化し、任意のリー群 G に一般化する。特に、温度的表現（特に SO(d+1,1) の主系列）に注目することで、時空変数に依存せず、群表現論のみに依存する交差方程式を導出し、任意の G に対して無限個の解が存在することを証明する。これは、偶数次元における共形群に対しても成立する。

ABSTRACT

The conformal crossing equation puts very stringent constraints on the conformal data. We formulate it in way that makes the conformal symmetry more transparent. This allows for generalization of the crossing equation to arbitrary Lie group G. Using the crossing equation for SU(2) as a toy model, we find infinitely many solutions to the G-crossing equation. In particular, when G is specialized to the conformal group SO(d+1,1), we get infinitely many solutions to the conformal crossing equation.

研究の動機と目的

• 共形対称性が明示的になるように、交差比 (u,v) に依存しない形で共形交差方程式を再定式化すること。
• G における調和解析を活用することで、共形交差方程式を任意のリー群 G に一般化すること。
• 4点関数の分解における温度的表現（特に主系列と離散系列）の役割を特定すること。
• 時空変数に依存せず、表現論のみに依存する共形ブートストラップの群論的枠組みを確立すること。
• 共形群の温度的表現を用いて定式化された交差方程式が、無限個の解を有することを示すこと。

提案手法

• 特に Δ = d/2 + ic（c ∈ ℝ）である主系列に由来する温度的表現に関連する共形部分波の直交性を用いて、交差方程式を定式化する。
• 共形群 SO(d+1,1) における調和解析を用い、正則表現を不可約な温度的表現に分解する。
• 温度的表現のテンソル積のクレブシュ＝ゴルダン分解を適用し、一般化された交差方程式を導出する。
• 交差対称性を、ラカ係数（6j記号）と五角形恒等式を含む群論的恒等式に翻訳する。
• Biedenharn-Elliot の五角形恒等式を、4つの表現を結合するための基本的整合性条件として用い、任意の群（SO(d+1,1) を含む）に適用可能であることを示す。
• SU(2) をモデル系として用い、一般化の仕組みを説明する。同様の群論的道具立てを用いて、任意の G に対して同じ構造が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共形交差方程式は、交差比 (u,v) に言及せずに、共形対称性が明示的になるようにどのように再定式化できるか？
• RQ2 温度的表現（特に主系列）は、共形群の調和解析において果たす役割は何か？
• RQ3 表現論を用いて、共形交差方程式を任意のリー群 G に一般化できるか？
• RQ4 共形場理論の文脈において、五角形恒等式の群論的起源は何か？
• RQ5 任意のリー群 G に対して、一般化された G-交差方程式は無限個の解を持つのか？

主な発見

• 主系列表現に由来する共形部分波の直交性を用いて、交差比 (u,v) に依存しない形で共形交差方程式を再定式化した。
• 任意のリー群 G（SO(d+1,1) を含む）に対して、温度的表現を用いることで、一般化された G-交差方程式に無限個の解が存在することが示された。
• 共形群 SO(d+1,1) に対しては、Δ = d/2 + ic を満たす主系列表現に制限した場合、一般化された交差方程式が無限個の解を持つことがわかった。
• 交差方程式の構造が、角運動量結合におけるものと同じ群論的恒等式（特に五角形恒等式）によって支配されることを示した。
• ラカ係数（6j記号）は、交差対称性の幾何学的・代数的枠組みを提供し、正四面体対称性の下での不変性を持つ。
• SU(2) から任意のリー群への一般化が自然に行えることから、共形ブートストラップの統一的表現論的アプローチを確立した。