[論文レビュー] Incidence Bounds for Block Designs

Ben Lund, Shubhangi Saraf|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2014

graph theory and CDMA systems参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、バランス型不完全区画設計（BIBD）における新しい極値的インcidencesの境界を確立し、有限幾何における点とフラットの間のインシデント関係に関する結果を一般化する。スぺクトルグラフ理論を用いて、BIBDにおける点またはブロックの大きな部分集合が多数のt-豊富なブロックや点を決定することを証明し、有限平面における異なる三角形面積の数に対するタイトな境界を導出する。これは、Iosevich, Rudnev, Zhaiの先行研究を改善するものである。

ABSTRACT

We prove three theorems giving extremal bounds on the incidence structures determined by subsets of the points and blocks of a balanced incomplete block design (BIBD). These results generalize and strengthen known bounds on the number of incidences between points and $m$-flats in affine geometries over finite fields. First, we show an upper bound on the number of incidences between sufficiently large subsets of the points and blocks of a BIBD. Second, we show that a sufficiently large subset of the points of a BIBD determines many t-rich blocks. Third, we show that a sufficiently large subset of the blocks of a BIBD determines many t-rich points. These last two results are new even in the special case of incidences between points and $m$-flats in an affine geometry over a finite field. As a corollary we obtain a tight bound on the number of t-rich points determined by a set of points in a plane over a finite field, and use it to sharpen a result of Iosevich, Rudnev, and Zhai on the number of triangles with distinct areas determined by a set of points in a plane over a finite field.

研究の動機と目的

• 有限幾何からのインシデント境界をBIBDの組合せ的設定に一般化すること。
• BIBDにおける大きな点部分集合が決定するt-豊富なブロックの数に関する極値境界を確立すること。
• 大きなブロック部分集合が決定するt-豊富な点の数に関する境界を導出すること。
• これらのインシデント結果を応用して、有限平面における異なる三角形面積の数に関する既知の境界を改善すること。
• 新しい境界がタイトであり、有限体上のアフィン幾何における既知の結果を一般化することを示すこと。

提案手法

• インシデント行列の固有値の境界を活用して、BIBDにおけるインシデント構造をスぺクトルグラフ理論で分析する。
• 二重数え上げとコーシー・シュワーツの不等式を用いて、インシデント数とt-豊富なブロックや点の数を関連付ける。
• 関数 $ a_{\rho,t} $ を定義・分析し、大きな点集合におけるt-豊富なブロックの最小数を定量化する。
• 双対性を用いて、ブロック集合によるt-豊富な点の双対的概念を導入し、BIBDの双対性における対称性を活用する。
• 幾何的三角形面積問題を、$ \mathbb{F}_q^2 $ 上のドット積問題に翻訳し、直交変換を用いる。
• 定理15（ドット積集合に関するスぺクトル境界）を適用して、異なる三角形面積の数に対する下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BIBDにおける大きな点集合とブロック集合の間のインシデント数の最大値は何か？
• RQ2 十分に大きな点集合がBIBDで決定する必要があるt-豊富なブロックの数は何か？
• RQ3 十分に大きなブロック集合がBIBDで決定する必要があるt-豊富な点の数は何か？
• RQ4 BIBDにおけるインシデント境界を、有限平面における異なる三角形面積に関する既知の結果の改善に用いることができるか？
• RQ5 $ \mathbb{F}_q^2 $ における点集合が生成する異なる三角形面積の数に対する、最もタイトな下界は何か？

主な発見

• BIBDにおける大きな点集合は、少なくとも $ a_{\rho,t} q^2 $ 個のt-豊富なブロックを決定する。ここで $ a_{\rho,t} = \frac{\rho^2(t-1)}{\rho^2(t-1) + 1 + \rho} $ であり、$ \rho $ は点集合のサイズを制御する。
• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、$ \mathbb{F}_q^2 $ 内の点集合がサイズ $ (1+\epsilon)(t-1)q $ であるとき、少なくとも $ c_{\epsilon} q $ 個の異なる三角形面積を生成する。ここで $ c_{\epsilon} \to 1 $ は $ \epsilon \to \infty $ のときを満たす。
• ある点に接するt-豊富な直線が少なくとも $ c'_{\epsilon} q $ 個存在する。ここで $ c'_{\epsilon} = \frac{2\epsilon^2}{(1+\epsilon)(\epsilon^2 + \epsilon + 1)} $ であり、$ \epsilon \leq 1 $ のときを満たす。
• 共通の頂点を持つ三角形が生成する異なる三角形面積の数は、少なくとも $ \left( \frac{(t-1)c'^2_{\delta}}{(t-1)c'^2_{\delta} + 1} \right) q $ である。ここで $ \delta = \frac{1+\epsilon}{t-1} - 1 $ である。
• 異なる三角形面積に関する境界はタイトであり、Iosevich, Rudnev, Zhaiの結果を上回るより強い定量的下界を提供する。
• 結果は、有限幾何における既知のインシデント境界を一般化・強化しており、特に $ \mathbb{F}_q^n $ における点とフラットの特別な場合においても同様である。