[論文レビュー] Incidences between points on a variety and planes in R^3

Micha Sharir, Noam Solomon|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ℝ³ 内の定数次数の非可約代数的曲面 V ⊂ ℝ³ 上の m 個の点と ℝ³ 内の n 枚の平面の間のインシデント数に関する改良された上限を確立する。幾何的分解と代数的曲線の切断に関する最近の結果を活用する。主な結果は、O(m²/³n²/³ + m⁶/¹¹n⁹/¹¹ logᵝ(m³/n) + m + n) という上限であり、点が非線形的多様体上にある場合に、従来の一般上限を改善する。応用としては、交比問題やモビウス変換に関するものがある。

ABSTRACT

In this paper we establish an improved bound for the number of incidences between a set $P$ of $m$ points and a set $H$ of $n$ planes in $\mathbb R^3$, provided that the points lie on a two-dimensional nonlinear irreducible algebraic variety $V$ of constant degree. Specifically, the bound is $$ O\left( m^{2/3}n^{2/3} + m^{6/11}n^{9/11}\log^β(m^3/n) + m + n + \sum_\ell |P_\ell|\cdot |H_\ell| ight) , $$ where the constant of proportionality and the constant exponent $β$ depend on the degree of $V$, and where the sum ranges over all lines $\ell$ that are fully contained in $V$ and contain at least one point of $P$, so that, for each such $\ell$, $P_\ell = P\cap\ell$ and $H_\ell$ is the set of the planes of H that contain $\ell$. In addition, $\sum_\ell |P_\ell| = O(m)$ and $\sum_\ell |H_\ell| = O(n)$. This improves, for this special case, the earlier more general bound of Apfelbaum and Sharir (see also Brass and Knauer as well as Elekes and Tóth). This is a generalization of the incidence bound for points and circles in the plane (cf. Aronov et al., Aronov and Sharir, Marcus and Tardos), and is based on a recent result of Sharir and Zahl on the number of cuts that turn a collection of algebraic curves into pseudo-segments. The case where $V$ is a quadric is simpler to analyze, does not require the result of Sharir and Zahl, and yields the same bound as above, with $β=2/11$. We present an interesting application of our results to a problem, studied by Rudnev, on obtaining a lower bound on the number of distinct cross-ratios determined by $n$ real points, where our bound leads to a slight improvement in Rudnev's bound.

研究の動機と目的

• ℝ³ 内の2次元の非線形的非可約代数的多様体 V ⊂ ℝ³ 上の点と ℝ³ 内の平面の間のインシデント数の上限を改善すること。
• インシデントグラフを、V 内に完全に含まれる直線とその残余インシデントに分解することで、インシデントを分析すること。
• この上限を、特に異なる交比やモビウス変換に関する離散幾何学の既存結果を強化するために応用すること。
• 双曲抛物面における点-平面インシデント幾何学を用いて、k-豊富なモビウス変換の分析を精緻化すること。
• 改良されたインシデント上限が、n 個の実数点によって定まる異なる交比の数の下界をより厳密に与えることを示すこと。

提案手法

• インシデントグラフ G(P,H) を、各 Pᵢ = P ∩ ℓᵢ および Hᵢ が直線 ℓᵢ ⊂ V を含む平面からなる完全二部部分グラフ Pᵢ × Hᵢ の和集合に分解する。
• 代数的曲線を擬似線分に切断する Sharir と Zahl の結果の新規応用により、残余インシデント I₀(P,H) を評価する。
• モビウス変換を双曲抛物面 Π: z = xy と交わる ℝ³ 内の平面としてモデル化し、点 (a,b,ab) が変換ペアを表すようにする。
• 定理 1.1 を適用して、Π 上の m = n² 個の点と、k-豊富な変換に対応する N 枚の平面との間のインシデントを評価する。
• インシデント上限と下限 kN ≥ k を比較することで、k-豊富な変換の数 N≥k の上界を導出する。
• 得られた上界 N≥k = O(n⁴/k³ + n⁶/k¹¹/² log k + n²/k) を用いて、Rudnev の交比に関する解析を改善する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数次数の代数的曲面上の点と ℝ³ 内の平面との間のインシデント数の上限は、一般の O(m³/⁴n³/⁴ + m + n) の上限を超えて改善可能か？
• RQ2 多様体 V 内に完全に含まれる直線に由来するインシデントは、全体のインシデント数にどのように影響するか？
• RQ3 集合 A ⊂ ℝ に自分自身を写像する k-豊富なモビウス変換の数の最もタイトな上限は何か？
• RQ4 改良されたインシデント上限は、n 個の実数点によって定まる異なる交比の数の下界をどの程度改善できるか？
• RQ5 平面と曲面 Π 間の直線的交差が存在しないことは、インシデント幾何学および導出される上限に影響を与えるか？

主な発見

• インシデント上限は、O(m²/³n²/³ + m⁶/¹¹n⁹/¹¹ logᵝ(m³/n) + m + n) であり、β は多様体 V の次数に依存する。これは、点が多様体上にある場合に、従来の Apfelbaum–Sharir の一般上限を改善する。
• V が二次曲面の場合、β = 2/11 で上限が成り立ち、Sharir–Zahl の曲線切断結果の必要がなくなる。
• k-豊富なモビウス変換の数は、N≥k = O(n⁴/k³ + n⁶/k¹¹/² log k + n²/k) で抑えられ、以前の O(n⁶/k⁵) の上限を改善する。
• この改良された上限により、集合 A ⊂ ℝ 内の合同な五角形の数 Q に対する上界が O(n⁶) に厳しく抑えられ、以前の O(n⁶ log n) よりもタイトになる。
• その結果、n 個の実数点によって定まる異なる交比の数の下界が、Ω(n²⁴/¹¹ / log⁶/¹¹ n) から Ω(n²⁴/¹¹) に改善される。
• 解析により、インシデント上限の第2項（logᵝ を含む）が級数の収束性を損なわないことが確認され、導出された上限の有効性が保たれる。