[論文レビュー] Inclics, galaxies, star configurations and Waldschmidt constants

Giuliana Fatabbi, Brian Harbourne+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重複度を割り当てた線型部分多様体の和として定義されるinclicスキームを導入し、重複度の選択にかかわらず、それらの定義イデアルのヒルベルト関数を帰納的に計算する手法を提供する。主な応用として、銀河的inclicスキームのワルドシュミット定数を明示的に計算し、射影空間内の記号的べきやスターコンfigュレーションに関する既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

This paper introduces complexes of linear varieties, called inclics (for INductively Constructible LInear ComplexeS). As examples, we study galaxies (these are constructed starting with a star configuration to which we add general points in a larger projective space). By assigning an order of vanishing (i.e., a multiplicity) to each member of the complex, we obtain fat linear varieties (fat points if all of the linear varieties are points). The scheme theoretic union of these fat linear varieties gives an inclic scheme $X$. For such a scheme, we show there is an inductive procedure for computing the Hilbert function of its defining ideal $I_X$, regardless of the choice of multiplicities. As an application, we show how our results allow the computation of the Hilbert functions of, for example, symbolic powers $(I_X)^{(m)}$ for arbitrary $m$ of many new examples of radical ideals $(I_X)$, and we explicitly compute the Waldschmidt constants $γ(I_X)$ for galactic inclics $X$.

研究の動機と目的

• 線型部分多様体の和に重複度を割り当てたスキームの定義イデアルのヒルベルト関数を、任意の重複度に対して一般化された帰納的枠組みで計算するための開発。
• 特に根基イデアルに対して、既知のケースを超えて計算可能な記号的べきのヒルベルト関数の範囲を拡張すること。
• スターコンfigュレーションと一般点から構成される特別なクラスのinclicとしての銀河的inclicスキームを定義し、それらを研究すること。
• 銀河的inclicスキームのワルドシュミット定数を明示的に計算し、記号的べきの初期次数の漸近的測度を提供すること。
• 高次元射影空間における新しい構成に対して、記号的べきおよびワルドシュミット定数に関する結果を一般化すること。

提案手法

• 射影空間内の線型部分多様体の複体として、特定の包含および非交差条件を満たす帰納的に構成可能なinclicを導入する。
• 各成分に重複度（消滅の位数）を割り当てたファット線型多様体の和として定義されるinclicスキームを定義し、スキーム論的和を形成する。
• 任意の重複度割り当てに対して有効な、inclicスキーム$X$の定義イデアル$I_X$のヒルベルト関数を計算する再帰的手順を確立する。
• 帰納的ヒルベルト関数計算を、根基イデアル$I_X$の記号的べき$(I_X)^{(m)}$に適用し、任意の$m$に対してそれらのヒルベルト関数を計算可能にする。
• スターコンfigュレーションをある超平面に持ち、より大きな射影空間内に$h$個の一般点を持つinclicとして構成される銀河的inclicを定義し、主結果では$h=N$とする。
• 補題3.5と追加点の数に関する帰納法を用いて、$α((I_X)^{(j)})$、すなわち$j$番目の記号的べきの初期次数を計算し、ワルドシュミット定数$\gamma(I_X)$の明示的公式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の重複度を割り当てた線型多様体の和からなるスキームの定義イデアルのヒルベルト関数を計算する帰納的手順を構築できるか？
• RQ2 この帰納的手法は、根基イデアルの記号的べきのヒルベルト関数の計算にどの程度まで適用可能か？
• RQ3 高次元射影空間内にスターコンfigュレーションと$N$個の一般点からなる銀河的inclicスキームのワルドシュミット定数は何か？
• RQ4 銀河的inclicイデアルの$j$番目の記号的べきの初期次数は、漸近的にどのように増加するか？
• RQ5 $α((I_X)^{(j)})$の帰納的計算が、ワルドシュミット定数の閉形式表現を導くために安定化するための条件は何か？

主な発見

• 任意のinclicスキームに対して、重複度の割り当てにかかわらず、その定義イデアルのヒルベルト関数を計算する帰納的手続きが確立された。
• この手法により、多くの新しい根基イデアル$I_X$について、任意の$m$に対して記号的べき$(I_X)^{(m)}$のヒルベルト関数を明示的に計算可能となった。
• 銀河的inclic$X = γ(n,N,e,u,N;S(n,e,u),\mathcal{H})$に対して、ワルドシュミット定数は明示的に$\gamma(I_X) = \frac{(N+1)u - Ne}{Nu - (N-1)e}$と計算された。
• $j$番目の記号的べきの初期次数$\alpha((I_X)^{(j)})$は$j$に関して線形に増加し、$a_i = iru - (i-1)re$を満たす列は$a_{i+1} = 2a_{i+1} - a_i$を満たし、$a_i = \alpha((I_{G_i})^{(a_i)})$を満たす。
• $e = n$のとき、イデアル$I_G$の正則性は$u - n + 1$に等しく、$\alpha(I_G) = 2$である。これはワルドシュミット定数の評価に役立つ。
• 本結果は、$\alpha(I_{a_i G_i}) = a_i + d$（$d = a_i - a_{i-1}$）であるという鍵となる観察に依拠しており、これにより再帰関係$a_{i+1} = a_i + (a_i - a_{i-1})$が得られ、$\gamma(I_X)$の閉形式表現が導かれた。